Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tetapkan bit supaya ia menyimpan −19 dalam pelengkap dua 8-bit. Dibaca sebagai nombor tanpa tanda, apakah nilai corak U?

N = −198 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Tetapkan bit kepada hasil 8-bit bagi 1111 0111 >> 2. Apakah nilai hasil R dalam perpuluhan?

1111 0111>> 2

R =

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Formula manakah yang setara secara logik dengan ¬(r ↔ q)? Klik formula itu.

¬(r ↔ q)

1r ∧ ¬q
2r ↔ ¬q
3¬r ↔ ¬q
4¬r ∨ ¬q

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Pernyataan manakah yang setara dengan ¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)), dengan penafian dialihkan sepenuhnya ke dalam? Klik pernyataan itu.

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))

1∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
2∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))
3∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
4∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Gunakan peta Karnaugh untuk mencari bentuk hasil darab hasil tambah (POS) minimum bagi F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 5, 9, 10, 11, 12, 14, 15). Berapa banyak sebutan hasil tambah (faktor) N yang ada padanya?

F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 5, 9, 10, 11, 12, 14, 15)

N =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Pembilang mod-50 mesti mengira melalui 50 keadaan berbeza. Berapakah bilangan minimum flip-flop n yang diperlukannya?

N = 50

n =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari fungsi totien Euler φ(325), bilangan integer dari 1 hingga 325 yang perdana relatif dengan 325.

n = 325 = 5²·13

φ(325) =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Sulitkan mesej m = 421 dengan kunci awam RSA (n, e) = (551, 17). Cari teks sulit c.

n = 551e = 17m = 421

c =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Carian pertama lebar pada graf tidak berpemberat mencari:

APokok rentang minimum
BSusunan topologi dalam semua graf
CLaluan terpendek dari segi bilangan sisi dari nod permulaan
DLaluan terpendek dalam graf yang mengandungi pemberat sisi negatif

10.Algoritma & kerumitanSukar

Apakah masa larian algoritma Dijkstra dengan timbunan binari pada graf dengan V bucu dan E sisi?

AO(V + E)
BO(V³)
CO((V + E) log V)
DO(V × E)

11.Struktur dataSederhana

Anda mempunyai rujukan kepada nod di tengah senarai. Dalam senarai manakah anda boleh membuangnya dalam O(1)?

ATatasusunan tersusun
BSenarai berpaut tunggal
CTatasusunan dinamik
DSenarai berpaut dua hala

12.Struktur dataSukar

Apakah jaminan yang diberikan oleh peraturan pokok merah-hitam tentang ketinggian pokok dengan n kunci?

AKetinggian paling banyak log₂ n + 1
BKetinggian tepat log₂ n
CKetinggian paling banyak 2 log₂(n + 1)
DKetinggian paling banyak n / 2

13.Teori grafSederhana

Sebuah pokok mempunyai 2 bucu berdarjah 5, dan semua bucu lainnya ialah daun (berdarjah 1). Berapa banyak daun L yang ada padanya?

2 × deg 5

L =

14.Teori grafSukar

Berapa banyak jalan tertutup sepanjang 2 bermula dan berakhir di C? Jalan boleh mengulang bucu dan sisi. Panggil nombor ini N.

M = matriks kejirananL = 2

N =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Dalam aljabar relasi, operator pemilihan (σ) sepadan dengan klausa SQL yang mana?

AGROUP BY
BORDER BY
CSenarai SELECT
DWHERE

16.Pangkalan data & SQLSukar

Jadual employee(emp_id, dept_id, dept_name) mempunyai kunci emp_id, dan dept_id → dept_name. Pernyataan manakah yang betul?

AIa dalam BCNF dan oleh itu dalam 3NF
BIa dalam 2NF tetapi bukan 3NF
CIa bukan dalam 2NF
DIa bukan dalam 1NF

17.Rangkaian komputerSederhana

Apakah yang dilakukan oleh ARP?

AMenghalakan paket di internet
BMencari alamat MAC yang dimiliki oleh alamat IP pada rangkaian setempat
CMenetapkan alamat IP secara automatik kepada hos apabila mereka menyertai rangkaian setempat
DMenyelesaikan nama domain

18.Rangkaian komputerSukar

Anda mesti membahagikan 192.168.1.0/24 kepada sekurang-kurangnya 5 subnet dengan sehingga 25 hos setiap satu. Panjang awalan manakah yang paling sesuai?

A/28
B/25
C/26
D/27

19.Subnet IPv4Sederhana

Rangkaian 10.7.199.0/24 dibahagikan kepada subnet sama saiz dengan awalan /27. Berapakah bilangan subnet N?

10.7.199.0/24/27

N =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.129.178/26. Apakah oktet keempat x bagi alamat hos boleh guna yang terakhir dalam subnetnya?

10.20.129.178/26

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 237

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Songsang dan tambah satu

19 = 0001 0011

disongsangkan: 1110 1100

+1 → 1110 1101

Baca sebagai tanpa tanda

1110 1101₂ = 256 − 19 = 237

Jawapan

U = 237

2.Sistem nombor

Jawapan: R = 61

Bit demi bit

Anjak ke kanan sebanyak 2 menggerakkan setiap bit 2 tempat ke kanan; bit yang jatuh dari hujung kanan hilang dan sifar masuk di sebelah kiri.

1111 0111 >> 2

= 0011 1101

Nilai hasil

0011 1101₂ = 61

Jawapan

R = 61

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: r ↔ ¬q

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Hukum

¬(a ↔ b) ialah 1 tepat apabila a dan b berbeza, iaitu a ↔ ¬b.

¬(r ↔ q) ≡ r ↔ ¬q

Semak dengan jadual kebenaran

q = 1, r = 1: 0 | 0 0 1 0

q = 1, r = 0: 1 | 0 1 0 1

q = 0, r = 1: 1 | 1 1 0 1

q = 0, r = 0: 0 | 0 0 1 1

Jawapan

r ↔ ¬q

Lajur selepas palang ialah pilihan mengikut susunan yang ditunjukkan.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Alihkan penafian ke dalam

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) ≡ ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

Jawapan

∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

Pilihan lain sama ada mengekalkan pengkuantiti tanpa perubahan, mengubah susunan pengkuantiti, atau menafikan formula dalam dengan salah.

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 4

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Kumpulkan 0

Setiap kumpulan ialah segi empat tepat 2ᵏ sel; sel tepi berjiran dengan sel pada tepi bertentangan.

(B + C + D)

(A + B + D′)

(A + B′ + C′)

(A′ + B′ + C + D′)

Bentuk POS minimum

F = (B + C + D)(A + B + D′)(A + B′ + C′)(A′ + B′ + C + D′)

N = 4

Jawapan

N = 4

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: n = 6

Flip-flop dan pembilang: flip-flop hanya berubah pada pinggir jam yang aktif. D menyalin inputnya (Q⁺ = D); T bertukar keadaan apabila T = 1; JK kekal untuk 00, set semula untuk 01, set untuk 10 dan bertukar keadaan untuk 11. Pembilang perduaan n-bit mempunyai 2ⁿ keadaan dan mengira modulo 2ⁿ; pembilang mod-N mengira 0, 1, …, N − 1 dan kembali ke 0, dan memerlukan flip-flop sebanyak n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N. Setiap peringkat pembilang riak membahagi dua frekuensi, maka output terakhir pembilang mod-N berjalan pada f_clk/N. Pembilang Johnson dengan n flip-flop mempunyai 2n keadaan, pembilang gelang n.

Bilangan flip-flop

2ⁿ ≥ 50 → n = 6 (2⁶ = 64)

Jawapan

n = 6

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: φ(325) = 240

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Faktor perdana

325 = 5²·13

Totien

φ(325) = φ(13)·φ(25) = 12·20 = 240

Jawapan

φ(325) = 240

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: c = 279

Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.

Kuasa dua berulang

17 = 16 + 1

421¹ ≡ 421 (mod 551)

421² ≡ 370 (mod 551)

421⁴ ≡ 252 (mod 551)

C · Ketinggian paling banyak 2 log₂(n + 1)

13.Teori graf

Jawapan: L = 8

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; K_n mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Lema jabat tangan untuk pokok

L + 10 = 2(L + 2) − 2

L = 8

Jawapan

L = 8

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) ke atas bucu berdarjah d ≥ 3.

14.Teori graf

Jawapan: N = 3

Darjah: darjah sesuatu bucu ialah bilangan sisi yang bertemu padanya. Setiap sisi mempunyai dua hujung, maka jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi: Σ deg(v) = 2|E| (lema jabat tangan). Bilangan bucu berdarjah ganjil oleh itu genap. K_n mempunyai n(n − 1)/2 sisi, graf k-sekata pada n bucu mempunyai nk/2, dan pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Matriks kejiranan

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 1

D · /27

19.Subnet IPv4

Jawapan: N = 8

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

Bit yang dipinjam

27 − 24 = 3

Bilangan subnet

N = 2³ = 8

Jawapan

N = 8

Setiap subnet /27 mempunyai 2⁵ − 2 = 30 hos boleh guna.

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 190

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Saiz blok

2⁶ = 64

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊178/64⌋·64 = 128

siaran: 128 + 64 − 1 = 191

hos boleh guna: 129 … 190

Jawapan

x = 190

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals