Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tetapkan bit supaya ia menyimpan −2 dalam pelengkap dua 8-bit. Dibaca sebagai nombor tanpa tanda, apakah nilai corak U?

N = −28 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Tetapkan bit kepada hasil 8-bit bagi 0011 1000 << 2. Apakah nilai hasil R dalam perpuluhan?

0011 1000<< 2

R =

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Formula manakah yang setara secara logik dengan p → q? Klik formula itu.

p → q

1q → p
2¬q ∧ ¬p
3¬q → ¬p
4¬p → ¬q

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Pernyataan manakah yang setara dengan ¬∀x ∃y R(x, y), dengan penafian dialihkan sepenuhnya ke dalam? Klik pernyataan itu.

¬∀x ∃y R(x, y)

1∀x ∃y ¬R(x, y)
2∃y ∀x ¬R(x, y)
3∀x ∀y ¬R(x, y)
4∃x ∀y ¬R(x, y)

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Gunakan peta Karnaugh untuk mencari bentuk hasil darab hasil tambah (POS) minimum bagi F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 11, 14, 15). Berapa banyak sebutan hasil tambah (faktor) N yang ada padanya?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 11, 14, 15)

N =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Flip-flop JK dicetus pinggir positif bermula dengan Q = 0 dan menerima input yang ditunjukkan pada 7 pinggir jam menaik. Berapa kali N Q berubah keadaan?

Q₀ = 0JK

N =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari songsangan 5 modulo 13: nombor x dengan 0 < x < 13 dan 5·x ≡ 1 (mod 13).

a = 5n = 13

5⁻¹ mod 13 =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Kunci RSA menggunakan p = 19, q = 47 dan e = 17. Nyahsulit teks sulit c = 625: cari mesej m.

p = 19q = 47e = 17c = 625

m =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Carian pertama lebar pada graf tidak berpemberat mencari:

ASusunan topologi dalam semua graf
BLaluan terpendek dalam graf yang mengandungi pemberat sisi negatif
CPokok rentang minimum
DLaluan terpendek dari segi bilangan sisi dari nod permulaan

10.Algoritma & kerumitanSukar

Mengambil kedua-dua hujung setiap sisi dalam padanan maksimal memberikan litupan bucu. Sebaik manakah litupan ini?

APaling banyak log n kali minimum
BMutunya tidak diketahui berbanding optimum
CPaling banyak dua kali ganda saiz litupan bucu minimum
DSentiasa litupan bucu minimum

11.Struktur dataSederhana

Apakah kerumitan masa mencari kunci dalam pokok carian binari yang seimbang?

AO(n)
BO(n log n)
CO(log n)
DO(1)

12.Struktur dataSukar

Algoritma Kahn untuk isihan topologi berulang kali membuang bucu dengan darjah masuk 0. Struktur manakah yang menyimpan bucu tersebut?

ATindanan semua sisi yang dilawati
BMatriks bersebelahan yang merekodkan bucu mana yang sudah dibuang
CBaris gilir (atau sebarang koleksi) bucu yang darjah masuknya 0
DTimbunan maks yang disusun mengikut darjah keluar

13.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 20 bucu dan 29 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 20|E| = 29

k =

14.Teori grafSukar

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(D) laluan terpendek dari A ke D dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: D

d(D) =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Dalam aljabar relasi, operator unjuran (π) sepadan dengan:

AMenyusun hasil
BMencantumkan dua jadual pada kunci
CMemilih lajur mana yang muncul dalam hasil
DMemilih baris mana yang memenuhi syarat tertentu

16.Pangkalan data & SQLSukar

Dengan kawalan keserentakan berbilang versi (MVCC), bagaimanakah pembaca boleh mengelak menyekat penulis?

APenulis tidak dibenarkan semasa sebarang pembaca aktif
BPembaca melihat petikan konsisten versi baris yang dikomit sementara penulis mencipta versi baharu
CPembaca membaca data belum komit secara langsung
DPembaca sentiasa menunggu sehingga semua penulis mengkomit

17.Rangkaian komputerSederhana

Metrik manakah yang digunakan RIP untuk memilih laluan?

ADasar perniagaan
BKelewatan yang diukur
CBilangan lompatan
DLebar jalur pautan

18.Rangkaian komputerSukar

Kunci persendirian pelayan dicuri setahun dari sekarang. Sifat TLS manakah yang memastikan sesi yang direkodkan hari ini selamat?

AMemampatkan data sebelum penyulitan
BMenghantar sijil dua kali
CKerahsiaan hadapan (forward secrecy) daripada pertukaran kunci Diffie-Hellman efemeral
DMenggunakan nama domain yang lebih panjang

19.Subnet IPv4Sederhana

Rangkaian 10.23.0.0/24 dibahagikan kepada subnet sama saiz dengan awalan /29. Berapakah bilangan subnet N?

10.23.0.0/24/29

N =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.243.67/30. Apakah nombor terakhir (oktet keempat) x bagi alamat siaran subnetnya?

10.20.243.67/30

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 254

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Songsang dan tambah satu

2 = 0000 0010

disongsangkan: 1111 1101

+1 → 1111 1110

Baca sebagai tanpa tanda

1111 1110₂ = 256 − 2 = 254

Jawapan

U = 254

2.Sistem nombor

Jawapan: R = 224

Bit demi bit

Anjak ke kiri sebanyak 2 menggerakkan setiap bit 2 tempat ke kiri; bit yang jatuh dari hujung kiri hilang dan sifar masuk di sebelah kanan.

0011 1000 << 2

= 1110 0000

Nilai hasil

1110 0000₂ = 224

Jawapan

R = 224

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ¬q → ¬p

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Hukum

Implikasi setara dengan kontrapositifnya ¬b → ¬a, bukan akasnya b → a atau songsangannya ¬a → ¬b.

p → q ≡ ¬q → ¬p

Semak dengan jadual kebenaran

p = 1, q = 1: 1 | 1 0 1 1

p = 1, q = 0: 0 | 1 0 0 1

p = 0, q = 1: 1 | 0 0 1 0

p = 0, q = 0: 1 | 1 1 1 1

Jawapan

¬q → ¬p

Lajur selepas palang ialah pilihan mengikut susunan yang ditunjukkan.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ∃x ∀y ¬R(x, y)

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Alihkan penafian ke dalam

¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)

Jawapan

∃x ∀y ¬R(x, y)

Pilihan lain sama ada mengekalkan pengkuantiti tanpa perubahan, mengubah susunan pengkuantiti, atau menafikan formula dalam dengan salah.

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 5

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Kumpulkan 0

Setiap kumpulan ialah segi empat tepat 2ᵏ sel; sel tepi berjiran dengan sel pada tepi bertentangan.

(A′ + C + D′)

(A′ + B′ + C)

(A + B + C + D)

(A + B′ + C′ + D′)

(A′ + B + C′ + D)

Bentuk POS minimum

F = (A′ + C + D′)(A′ + B′ + C)(A + B + C + D)(A + B′ + C′ + D′)(A′ + B + C′ + D)

N = 5

Jawapan

N = 5

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 2

Flip-flop dan pembilang: flip-flop hanya berubah pada pinggir jam yang aktif. D menyalin inputnya (Q⁺ = D); T bertukar keadaan apabila T = 1; JK kekal untuk 00, set semula untuk 01, set untuk 10 dan bertukar keadaan untuk 11. Pembilang perduaan n-bit mempunyai 2ⁿ keadaan dan mengira modulo 2ⁿ; pembilang mod-N mengira 0, 1, …, N − 1 dan kembali ke 0, dan memerlukan flip-flop sebanyak n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N. Setiap peringkat pembilang riak membahagi dua frekuensi, maka output terakhir pembilang mod-N berjalan pada f_clk/N. Pembilang Johnson dengan n flip-flop mempunyai 2n keadaan, pembilang gelang n.

Q selepas setiap pinggir

Flip-flop JK: 00 kekal, 01 set semula (Q = 0), 10 set (Q = 1), 11 bertukar keadaan.

1: J = 0, K = 1 → Q = 0

2: J = 0, K = 0 → Q = 0

3: J = 0, K = 1 → Q = 0

4: J = 0, K = 1 → Q = 0

5: J = 0, K = 1 → Q = 0

6: J = 1, K = 1 → Q = 1

7: J = 0, K = 1 → Q = 0

Kira perubahan

0 → 0 → 0 → 0 → 0 → 0 → 1 → 0

N = 2

Jawapan

N = 2

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 5⁻¹ mod 13 = 8

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algoritma Euclid lanjutan

Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·5 (mod 13).

r = 13, t = 0

r = 5, q = 2, t = 1

r = 3, q = 1, t = −2

r = 2, q = 1, t = 3

r = 1, q = 2, t = −5

Songsangan

1 ≡ −5·5 (mod 13)

x = 8

semakan: 5·8 = 40 = 3·13 + 1

Jawapan

5⁻¹ mod 13 = 8

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: m = 788

Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.

Eksponen persendirian

n = 893, φ(n) = 828

d = 17⁻¹ mod 828 = 341

Nyahsulit dengan kuasa dua berulang

341 = 256 + 64 + 16 + 4 + 1

625¹ ≡ 625 (mod 893)

625² ≡ 384 (mod 893)

625⁴ ≡ 111 (mod 893)

625⁸ ≡ 712 (mod 893)

625¹⁶ ≡ 613 (mod 893)

625³² ≡ 709 (mod 893)

625⁶⁴ ≡ 815 (mod 893)

625¹²⁸ ≡ 726 (mod 893)

625²⁵⁶ ≡ 206 (mod 893)

625³⁴¹ ≡ 625·111·613·815·206 ≡ 788 (mod 893)

Mesej

m = 788

Sisi pokok rentang

20 − 1 = 19

Sisi untuk dibuang

k = 29 − 19 = 10

Jawapan

k = 10

14.Teori graf

Jawapan: d(D) = 13

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 8, C: 13

B (8): D: 13, E: 18

C (13)

D (13): F: 20

E (18)

F (20)

Laluan terpendek

A → B → D

Bit yang dipinjam

29 − 24 = 5

Bilangan subnet

N = 2⁵ = 32

Jawapan

N = 32

Setiap subnet /29 mempunyai 2³ − 2 = 6 hos boleh guna.

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 67

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Saiz blok

2² = 4

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊67/4⌋·4 = 64

siaran: 64 + 4 − 1 = 67

hos boleh guna: 65 … 66

Jawapan

x = 67

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals