Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tetapkan bit supaya ia menyimpan −118 dalam pelengkap dua 8-bit. Dibaca sebagai nombor tanpa tanda, apakah nilai corak U?

N = −1188 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Apakah integer paling negatif N yang boleh disimpan dalam pelengkap dua 24-bit?

24 bit

N =

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Adakah ((a → b) ∧ (a → c)) → (b → c) tautologi, percanggahan atau kontingensi? Klik jawapan anda.

((a → b) ∧ (a → c)) → (b → c)

1tautologi
2percanggahan
3kontingensi

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Premis (p ∧ r) → q; p; ¬q diberikan. Kesimpulan manakah yang terhasil daripadanya? Klik kesimpulan itu.

(p ∧ r) → qp¬q

1r
2r ∧ ¬q
3q
4¬r

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Gunakan peta Karnaugh untuk mencari bentuk hasil tambah hasil darab (SOP) minimum bagi F(A, B, C) = Σm(2, 4, 5, 6, 7). Berapa banyak literal L yang terkandung dalamnya secara keseluruhan (pemboleh ubah berperdana dikira satu literal)?

F(A, B, C) = Σm(2, 4, 5, 6, 7)

L =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Jam 10 kHz memacu pembilang mod-50. Cari frekuensi f_out output paling bererti, yang melengkapkan satu kitar bagi setiap kitaran pengiraan.

f_clk = 10 kHzN = 50

f_out = kHz

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari songsangan 32 modulo 59: nombor x dengan 0 < x < 59 dan 32·x ≡ 1 (mod 59).

a = 32n = 59

32⁻¹ mod 59 =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Sulitkan mesej m = 78 dengan kunci awam RSA (n, e) = (551, 5). Cari teks sulit c.

n = 551e = 5m = 78

c =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah yang dikira oleh algoritma Floyd–Warshall, dan sepantas mana?

ALaluan terpendek dari satu bucu sumber ke semua bucu lain dalam O(V + E)
BSusunan topologi dalam O(V²)
CPokok rentang minimum dalam O(E log V)
DLaluan terpendek antara semua pasangan bucu dalam O(V³)

10.Algoritma & kerumitanSukar

Algoritma manakah yang mencari pokok rentang minimum dengan menambah sisi termurah berulang kali yang tidak membentuk kitaran?

AAlgoritma Dijkstra
BAlgoritma Kruskal
CAlgoritma Prim bermula dari satu nod
DFloyd–Warshall

11.Struktur dataSederhana

Dalam timbunan min binari yang disimpan dalam tatasusunan (indeks bermula pada 0), anak bagi nod pada indeks i berada pada:

Ai + 1 dan i + 2
B2i dan 2i + 1
Ci/2 dan i/2 + 1
D2i + 1 dan 2i + 2

12.Struktur dataSukar

Mengapakah pelayan mungkin memilih fungsi cincangnya secara rawak daripada keluarga universal?

AUntuk menghapuskan keperluan mengubah saiz jadual
BUntuk menjadikannya sangat tidak mungkin penyerang dapat memilih banyak kunci yang semuanya berlanggar
CUntuk menjadikan jadual cincang tersusun
DUntuk menjamin bahawa tiada dua kunci boleh berlanggar, apa pun kunci yang dihantar penyerang

13.Teori grafSederhana

Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.

|V| = 7|E| = 10

1Litar Euler
2Laluan Euler, tiada litar
3tiada kedua-duanya

14.Teori grafSukar

Algoritma Dijkstra bermula dari A. Klik bucu yang ditetapkan (dijadikan tetap) dalam pusingan 5; A sendiri ialah pusingan 1.

mula: Apusingan 5

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Lajur mengandungi nilai 10, 20 dan NULL. Apakah yang dipulangkan oleh AVG(col)?

A10
B15
C30
DNULL

16.Pangkalan data & SQLSukar

Bentuk normal Boyce–Codd (BCNF) menghendaki bahawa bagi setiap kebergantungan fungsi bukan remeh X → Y:

AX ialah superkey
BY ialah atomik
CY ialah kunci utama
DX mengandungi NULL

17.Rangkaian komputerSederhana

Apakah yang ditentukan oleh rekod MX dalam DNS?

APelayan mel yang menerima e-mel untuk sesuatu domain
BPelayan nama untuk sesuatu zon
CNama alias untuk hos lain
DAlamat IPv4 pelayan web

18.Rangkaian komputerSukar

Mengapakah IPv6 tidak memerlukan NAT untuk menangani kekurangan alamat?

ARuang alamat 128 bitnya cukup besar untuk memberikan setiap peranti alamat global
BIPv6 menyulitkan semua alamat
CIPv6 tidak menggunakan alamat
DIPv6 hanya berfungsi pada rangkaian setempat, jadi alamat tidak perlu dikongsi secara global

19.Subnet IPv4Sederhana

Sebuah jabatan memerlukan 300 alamat hos dalam satu subnet. Apakah panjang awalan terpanjang p (subnet terkecil) yang cukup besar?

300 hosts

p =

20.Subnet IPv4Sukar

Rangkaian 192.168.66.0/24 dibahagikan dengan VLSM untuk LAN berikut: A: 23 hos, B: 20 hos, C: 5 hos, D: 120 hos. Subnet diperuntukkan dari .0 ke atas, LAN dengan hos paling banyak dahulu, masing-masing dengan subnet terkecil yang muat. Apakah oktet keempat x alamat rangkaian LAN C?

A: 23B: 20C: 5D: 120

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 138

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Songsang dan tambah satu

118 = 0111 0110

disongsangkan: 1000 1001

+1 → 1000 1010

Baca sebagai tanpa tanda

1000 1010₂ = 256 − 118 = 138

Jawapan

U = 138

2.Sistem nombor

Jawapan: N = −8.389 × 10⁶

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Nilai paling negatif

−2²³ = −8388608

Jawapan

N = −8388608

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: kontingensi

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Jadual kebenaran baris demi baris

a = 1, b = 1, c = 1: a → b = 1, a → c = 1, (a → b) ∧ (a → c) = 1, b → c = 1, ((a → b) ∧ (a → c)) → (b → c) = 1

a = 1, b = 1, c = 0: a → b = 1, a → c = 0, (a → b) ∧ (a → c) = 0, b → c = 0, ((a → b) ∧ (a → c)) → (b → c) = 1

a = 1, b = 0, c = 1: a → b = 0, a → c = 1, (a → b) ∧ (a → c) = 0, b → c = 1, ((a → b) ∧ (a → c)) → (b → c) = 1

a = 1, b = 0, c = 0: a → b = 0, a → c = 0, (a → b) ∧ (a → c) = 0, b → c = 1, ((a → b) ∧ (a → c)) → (b → c) = 1

a = 0, b = 1, c = 1: a → b = 1, a → c = 1, (a → b) ∧ (a → c) = 1, b → c = 1, ((a → b) ∧ (a → c)) → (b → c) = 1

a = 0, b = 1, c = 0: a → b = 1, a → c = 1, (a → b) ∧ (a → c) = 1, b → c = 0, ((a → b) ∧ (a → c)) → (b → c) = 0

a = 0, b = 0, c = 1: a → b = 1, a → c = 1, (a → b) ∧ (a → c) = 1, b → c = 1, ((a → b) ∧ (a → c)) → (b → c) = 1

a = 0, b = 0, c = 0: a → b = 1, a → c = 1, (a → b) ∧ (a → c) = 1, b → c = 1, ((a → b) ∧ (a → c)) → (b → c) = 1

Kelaskan

((a → b) ∧ (a → c)) → (b → c): 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1

1 dalam 7 daripada 8 baris, 0 dalam yang lain: kontingensi.

Jawapan

kontingensi

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ¬r

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Baris dengan semua premis benar

p = 1, q = 0, r = 0: r = 0, r ∧ ¬q = 0, q = 0, ¬r = 1

Kesimpulan

¬r (modus tollens dengan konjungsi)

Jawapan

¬r

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: L = 3

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Kumpulkan 1

Setiap kumpulan ialah segi empat tepat 2ᵏ sel; sel tepi berjiran dengan sel pada tepi bertentangan.

BC′

Bentuk SOP minimum

F = BC′ + A

L = 3

Jawapan

L = 3

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: f_out = 0.2 kHz

Flip-flop dan pembilang: flip-flop hanya berubah pada pinggir jam yang aktif. D menyalin inputnya (Q⁺ = D); T bertukar keadaan apabila T = 1; JK kekal untuk 00, set semula untuk 01, set untuk 10 dan bertukar keadaan untuk 11. Pembilang perduaan n-bit mempunyai 2ⁿ keadaan dan mengira modulo 2ⁿ; pembilang mod-N mengira 0, 1, …, N − 1 dan kembali ke 0, dan memerlukan flip-flop sebanyak n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N. Setiap peringkat pembilang riak membahagi dua frekuensi, maka output terakhir pembilang mod-N berjalan pada f_clk/N. Pembilang Johnson dengan n flip-flop mempunyai 2n keadaan, pembilang gelang n.

Pembahagian frekuensi

f_out = 10 kHz / 50 = 0.2 kHz

Jawapan

f_out = 0.2 kHz

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 32⁻¹ mod 59 = 24

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algoritma Euclid lanjutan

Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·32 (mod 59).

r = 59, t = 0

r = 32, q = 1, t = 1

r = 27, q = 1, t = −1

r = 5, q = 5, t = 2

r = 2, q = 2, t = −11

r = 1, q = 2, t = 24

Songsangan

1 ≡ 24·32 (mod 59)

x = 24

semakan: 32·24 = 768 = 13·59 + 1

Jawapan

32⁻¹ mod 59 = 24

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: c = 488

Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.

Kuasa dua berulang

5 = 4 + 1

78¹ ≡ 78 (mod 551)

B · Untuk menjadikannya sangat tidak mungkin penyerang dapat memilih banyak kunci yang semuanya berlanggar

13.Teori graf

Jawapan: Laluan Euler, tiada litar

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; K_n mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Darjah

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 4

Bucu ganjil

E, F → 2

Laluan Euler, tiada litar

Jawapan

Laluan Euler, tiada litar

Laluan Euler bermula pada satu bucu ganjil dan berakhir pada bucu ganjil yang lain.

14.Teori graf

Jawapan: G

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

1. A (0): B: 12, C: 1

2. C (1): B: 2, E: 11, G: 9

3. B (2): D: 4

4. D (4): E: 10, F: 14

5. G (9)

6. E (10)