Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Corak 8-bit 0111 0011 menyimpan integer bertanda dalam pelengkap dua. Apakah nilainya N dalam perpuluhan?

0111 00118 bit

N =

2.Sistem nomborSukar

Tetapkan bit kepada hasil 8-bit bagi 1010 1010 XOR 1010 0101. Apakah nilai hasil R dalam perpuluhan?

1010 1010XOR1010 0101

R =

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Formula manakah yang setara secara logik dengan ¬(r ∨ q)? Klik formula itu.

¬(r ∨ q)

1¬r ∨ ¬q
2¬r ∧ q
3¬r ∧ ¬q
4r ∨ ¬q

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Hujah dengan premis c ∨ b; c dan kesimpulan ¬b adalah tidak sah. Klik baris jadual kebenaran yang menjadi contoh penyangkal.

c ∨ bc∴ ¬b

1b = 1, c = 1
2b = 1, c = 0
3b = 0, c = 1
4b = 0, c = 0

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Gunakan peta Karnaugh untuk mencari bentuk hasil tambah hasil darab (SOP) minimum bagi F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 13). Berapa banyak literal L yang terkandung dalamnya secara keseluruhan (pemboleh ubah berperdana dikira satu literal)?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 13)

L =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Bagi F(A, B, C, D) = Σm(2, 5, 8, 12, 13) + d(3, 7, 11, 15), dengan d menandakan keadaan tidak peduli, cari bilangan N implikan perdana penting.

F(A, B, C, D) = Σm(2, 5, 8, 12, 13) + d(3, 7, 11, 15)

N =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari songsangan 21 modulo 23: nombor x dengan 0 < x < 23 dan 21·x ≡ 1 (mod 23).

a = 21n = 23

21⁻¹ mod 23 =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Gunakan kuasa dua berulang untuk mencari 34¹⁵⁷ mod 43.

a = 34k = 157n = 43

34¹⁵⁷ mod 43 =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah kerumitan masa teramortisasi bagi menambah pada tatasusunan dinamik yang menggandakan kapasitinya apabila penuh?

AO(log n)
BO(n²)
CO(1)
DO(n)

10.Algoritma & kerumitanSukar

Untuk varian galas manakah peraturan tamak "ambil item mengikut susunan nilai bagi setiap berat" sentiasa memberikan jawapan optimum?

AGalas pecahan, yang itemnya boleh dipecahkan
BKedua-dua varian
CTiada satu pun varian
DGalas 0/1, yang itemnya mesti sentiasa diambil keseluruhan

11.Struktur dataSederhana

Aplikasi memerlukan carian pantas dan juga perlu menyenaraikan kunci dalam susunan tersusun dan menjawab pertanyaan julat. Struktur manakah yang paling sesuai?

ATindanan
BSenarai berpaut tidak tersusun
CPokok carian binari seimbang
DJadual cincang

12.Struktur dataSukar

Pernyataan manakah tentang isihan timbunan (heapsort) yang betul?

AIa mengisih di tempat dalam masa kes terburuk O(n log n) tetapi tidak stabil
BIa stabil dan memerlukan memori tambahan O(n)
CIa berjalan dalam masa O(n) pada sebarang input
DIa memerlukan pokok carian binari sebagai storan tambahan, jadi ia menggunakan memori tambahan O(n)

13.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 16 bucu dan 27 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 16|E| = 27

k =

14.Teori grafSukar

Berapa banyak jalan sepanjang 2 dari E ke C? Jalan boleh mengulang bucu dan sisi. Panggil nombor ini N.

M = matriks kejirananL = 2

N =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Apakah suntikan SQL (SQL injection)?

ASerangan di mana input pengguna mengubah struktur pertanyaan SQL
BTeknik sandaran pangkalan data
CTeknik untuk menyisipkan banyak baris dengan cepat menggunakan satu penyataan INSERT
DCara untuk menambah indeks

16.Pangkalan data & SQLSukar

Apakah yang dipulangkan oleh: SELECT name FROM students WHERE grade > (SELECT AVG(grade) FROM students)?

ARalat kerana subpertanyaan tidak dibenarkan dalam WHERE
BHanya pelajar dengan gred tertinggi
CGred purata semua pelajar
DPelajar dengan gred di atas gred purata

17.Rangkaian komputerSederhana

Isyarat bergerak sejauh 2000 km melalui gentian pada kira-kira 2 × 10⁸ m/s. Berapakah kelewatan perambatan?

A1 ms
B100 ms
C10 ms
D0.1 ms

18.Rangkaian komputerSukar

Mengapakah pelayar memberi amaran apabila laman mengemukakan sijil swa-tandatangan?

ASijil swa-tandatangan tidak menggunakan penyulitan langsung, jadi trafik dihantar dalam teks biasa
BSijil itu sentiasa telah tamat tempoh
CTiada pihak berkuasa sijil yang dipercayai mengesahkan bahawa kunci itu milik laman tersebut
DLaman itu mesti menggunakan HTTP dan bukannya HTTPS

19.Subnet IPv4Sederhana

Sebuah jabatan memerlukan 677 alamat hos dalam satu subnet. Apakah panjang awalan terpanjang p (subnet terkecil) yang cukup besar?

677 hosts

p =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.122.128/29. Apakah nombor terakhir (oktet keempat) x bagi alamat siaran subnetnya?

10.20.122.128/29

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: N = 115

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Tambah nilai kedudukan

Bit lain mengekalkan nilai positif biasanya.

64 + 32 + 16 + 2 + 1 = 115

Jawapan

N = 115

2.Sistem nombor

Jawapan: R = 15

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Bit demi bit

XOR memberikan 1 di mana kedua-dua bit berbeza.

1010 1010

XOR 1010 0101

= 0000 1111

Nilai hasil

0000 1111₂ = 15

Jawapan

R = 15

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ¬r ∧ ¬q

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Hukum

De Morgan: ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b. ∨ bertukar menjadi ∧ dan kedua-dua bahagian dinafikan.

¬(r ∨ q) ≡ ¬r ∧ ¬q

Semak dengan jadual kebenaran

q = 1, r = 1: 0 | 0 0 0 1

q = 1, r = 0: 0 | 1 1 0 0

q = 0, r = 1: 0 | 1 0 0 1

q = 0, r = 0: 1 | 1 0 1 1

Jawapan

¬r ∧ ¬q

Lajur selepas palang ialah pilihan mengikut susunan yang ditunjukkan.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: b = 1, c = 1

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Premis dan kesimpulan baris demi baris

b = 1, c = 1: 1 1 | 0

b = 1, c = 0: 1 0 | 0

b = 0, c = 1: 1 1 | 1

b = 0, c = 0: 0 0 | 1

Contoh penyangkal

b = 1, c = 1

Jawapan

b = 1, c = 1

Hujah dengan bentuk ini kelihatan seperti peraturan yang sah, tetapi satu baris sudah memadai untuk menunjukkan bahawa ia tidak sah.

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: L = 6

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Kumpulkan 1

Setiap kumpulan ialah segi empat tepat 2ᵏ sel; sel tepi berjiran dengan sel pada tepi bertentangan.

B′D′

BC′

A′B′

Bentuk SOP minimum

F = B′D′ + BC′ + A′B′

L = 6

Jawapan

L = 6

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 3

Implikan perdana

Kumpulan terbesar yang boleh dibentuk daripada 1 dan X.

BD, AC′D′, A′B′C, ABC′

Implikan perdana penting

BD, AC′D′, A′B′C

N = 3

Jawapan

N = 3

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 21⁻¹ mod 23 = 11

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algoritma Euclid lanjutan

Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·21 (mod 23).

r = 23, t = 0

r = 21, q = 1, t = 1

r = 2, q = 10, t = −1

r = 1, q = 2, t = 11

Songsangan

1 ≡ 11·21 (mod 23)

x = 11

semakan: 21·11 = 231 = 10·23 + 1

Jawapan

21⁻¹ mod 23 = 11

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 34¹⁵⁷ mod 43 = 29

Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.

Eksponen perduaan

157 = 10011101₂ = 128 + 16 + 8 + 4 + 1

Kuasa dua berulang

34¹ ≡ 34 (mod 43)

34² ≡ 38 (mod 43)

34⁴ ≡ 25 (mod 43)

34⁸ ≡ 23 (mod 43)

34¹⁶ ≡ 13 (mod 43)

A · Ia mengisih di tempat dalam masa kes terburuk O(n log n) tetapi tidak stabil

13.Teori graf

Jawapan: k = 12

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; K_n mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Sisi pokok rentang

16 − 1 = 15

Sisi untuk dibuang

k = 27 − 15 = 12

Jawapan

k = 12

14.Teori graf

Jawapan: N = 1

Darjah: darjah sesuatu bucu ialah bilangan sisi yang bertemu padanya. Setiap sisi mempunyai dua hujung, maka jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi: Σ deg(v) = 2|E| (lema jabat tangan). Bilangan bucu berdarjah ganjil oleh itu genap. K_n mempunyai n(n − 1)/2 sisi, graf k-sekata pada n bucu mempunyai nk/2, dan pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Matriks kejiranan

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 1 1 1 0

C: 1 1 0 0 1 0

C · Tiada pihak berkuasa sijil yang dipercayai mengesahkan bahawa kunci itu milik laman tersebut

19.Subnet IPv4

Jawapan: p = 22

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Bit hos yang diperlukan

2⁹ − 2 = 510 < 677

2¹⁰ − 2 = 1022 ≥ 677 → h = 10

Panjang awalan

p = 32 − 10 = 22

Jawapan

p = /22

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 135

Saiz blok

2³ = 8

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊128/8⌋·8 = 128

siaran: 128 + 8 − 1 = 135

hos boleh guna: 129 … 134

Jawapan

x = 135

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals