Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Corak 8-bit 1100 0111 menyimpan integer bertanda dalam pelengkap dua. Apakah nilainya N dalam perpuluhan?

1100 01118 bit

N =

2.Sistem nomborSukar

Satu imej tanpa mampatan berukuran 1024 × 768 piksel dengan 16 bit setiap piksel. Berapakah memori M yang diambilnya, dalam KiB (1 KiB = 1024 bait)?

1024 × 768 px16 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Formula manakah yang setara secara logik dengan p → q? Klik formula itu.

p → q

1q → p
2¬p → ¬q
3¬q → ¬p
4¬q ∧ ¬p

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Berapa banyak daripada 16 baris jadual kebenaran menjadikan (a → c) ∨ ((c ∨ ¬b) → d) benar? Panggil nombor ini N.

(a → c) ∨ ((c ∨ ¬b) → d)

N =

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Permudahkan F = B′C + A′BC′ + A′B′C + BC kepada bentuk hasil tambah hasil darab minimum. Berapa banyak literal L yang terkandung dalam ungkapan yang dipermudah?

F = B′C + A′BC′ + A′B′C + BC

L =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Bagi F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 6, 10, 13) + d(5, 12), dengan d menandakan keadaan tidak peduli, cari bilangan N implikan perdana penting.

F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 6, 10, 13) + d(5, 12)

N =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari fungsi totien Euler φ(95), bilangan integer dari 1 hingga 95 yang perdana relatif dengan 95.

n = 95 = 5·19

φ(95) =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Sulitkan mesej m = 37 dengan kunci awam RSA (n, e) = (527, 17). Cari teks sulit c.

n = 527e = 17m = 37

c =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah kerumitan masa teramortisasi bagi menambah pada tatasusunan dinamik yang menggandakan kapasitinya apabila penuh?

AO(n)
BO(log n)
CO(1)
DO(n²)

10.Algoritma & kerumitanSukar

Pendaraban Karatsuba memenuhi T(n) = 3T(n/2) + O(n). Apakah penyelesaiannya?

AΘ(n^{log₂ 3}), kira-kira n^1.585
BΘ(n²)
CΘ(n³)
DΘ(n log n)

11.Struktur dataSederhana

Aplikasi memerlukan carian pantas dan juga perlu menyenaraikan kunci dalam susunan tersusun dan menjawab pertanyaan julat. Struktur manakah yang paling sesuai?

ASenarai berpaut tidak tersusun
BTindanan
CPokok carian binari seimbang
DJadual cincang

12.Struktur dataSukar

Supaya jadual cincang berfungsi dengan betul, peraturan manakah yang mesti diikuti oleh cincang dan kesamaan?

AKunci yang sama mesti mempunyai nilai cincang yang sama
BNilai cincang mesti nombor perdana
CNilai cincang yang sama membayangkan kunci yang sama
DKunci yang berbeza mesti mempunyai nilai cincang yang berbeza

13.Teori grafSederhana

Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.

|V| = 5|E| = 6

1Litar Euler
2Laluan Euler, tiada litar
3tiada kedua-duanya

14.Teori grafSukar

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F

d(F) =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Apakah yang dipulangkan oleh SELECT COALESCE(phone, 'unknown') FROM customers bagi pelanggan yang phone-nya NULL?

ARentetan kosong
B'unknown'
CNULL
DRalat

16.Pangkalan data & SQLSukar

Dua doktor yang bertugas masing-masing menyemak bahawa yang lain masih bertugas, kemudian kedua-duanya menamatkan tugas serentak. Anomali manakah yang masih dibenarkan oleh pengasingan petikan (snapshot isolation) di sini?

APenulisan kotor
BBacaan kotor
CBacaan tidak boleh ulang dalam satu transaksi
DWrite skew

17.Rangkaian komputerSederhana

Mengapakah Wi-Fi menggunakan pengelakan perlanggaran (CSMA/CA) dan bukannya pengesanan perlanggaran?

APengesanan perlanggaran hanya berfungsi pada kabel gentian, bukan pada saluran radio wayarles yang dikongsi
BWi-Fi hanya membenarkan satu peranti bagi setiap rangkaian
CIsyarat radio tidak pernah berlanggar
DStesen wayarles tidak dapat mengesan perlanggaran dengan boleh dipercayai semasa menghantar

18.Rangkaian komputerSukar

Apakah yang dicapai oleh pertukaran kunci Diffie-Hellman dengan sendirinya, dan apakah kelemahannya?

AIa menyulitkan data pukal secara langsung melalui saluran awam, tetapi terlalu perlahan untuk fail besar dan video
BIa menandatangani sijil untuk laman web, tetapi hanya berfungsi dengan kunci pendek
CIa menyetujui rahsia kongsi melalui saluran awam, tetapi bersendirian ia terdedah kepada lelaki-di-tengah
DIa mengesahkan kedua-dua pengguna dengan kata laluan, tetapi memerlukan pelayan pusat

19.Subnet IPv4Sederhana

Rangkaian 10.34.176.0/20 dibahagikan kepada subnet sama saiz dengan awalan /25. Berapakah bilangan subnet N?

10.34.176.0/20/25

N =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.92.210/29. Apakah nombor terakhir (oktet keempat) x bagi alamat siaran subnetnya?

10.20.92.210/29

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: N = −57

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Tambah nilai kedudukan

Bit lain mengekalkan nilai positif biasanya.

−128 + 64 + 4 + 2 + 1 = −57

Jawapan

N = −57

2.Sistem nombor

Jawapan: M = 1536 KiB

Bit dan bait

1024·768·16 = 12582912 bit = 1572864 B

Tukar kepada KiB

1572864/1024 = 1536 KiB

Jawapan

M = 1536 KiB

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ¬q → ¬p

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Hukum

Implikasi setara dengan kontrapositifnya ¬b → ¬a, bukan akasnya b → a atau songsangannya ¬a → ¬b.

p → q ≡ ¬q → ¬p

Semak dengan jadual kebenaran

p = 1, q = 1: 1 | 1 1 1 0

p = 1, q = 0: 0 | 1 1 0 0

p = 0, q = 1: 1 | 0 0 1 0

p = 0, q = 0: 1 | 1 1 1 1

Jawapan

¬q → ¬p

Lajur selepas palang ialah pilihan mengikut susunan yang ditunjukkan.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: N = 15

Jadual kebenaran: formula dengan n pemboleh ubah berbeza mempunyai 2ⁿ baris, satu untuk setiap gabungan nilai kebenaran (1 = benar, 0 = palsu). Bekerja dari dalam ke luar dan beri setiap subformula lajurnya sendiri. ¬a menyongsangkan nilai; a ∧ b ialah 1 hanya apabila kedua-duanya 1; a ∨ b ialah 0 hanya apabila kedua-duanya 0; a → b ialah 0 hanya apabila a = 1 dan b = 0; a ↔ b ialah 1 apabila kedua-dua belah sama.

Lajur

a → c; ¬b; c ∨ ¬b; (c ∨ ¬b) → d; (a → c) ∨ ((c ∨ ¬b) → d)

Pecahkan pada a

a = 1: 7

a = 0: 8

N = 7 + 8 = 15

Jawapan

N = 15

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: L = 3

Aljabar Boolean: peraturan yang memudahkan ungkapan ialah X + X′ = 1 dan X·X′ = 0, X + X = X, penyerapan X + X·Y = X, peraturan penggabungan X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y dan teorem konsensus XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Hukum De Morgan menukar (X·Y)′ kepada X′ + Y′ dan (X + Y)′ kepada X′·Y′. Peta Karnaugh menggunakan peraturan ini secara grafik: setiap kumpulan dua sel berjiran ialah satu penggunaan XY + XY′ = X.

Minterm ungkapan

B′C → m(1, 5)

A′BC′ → m(2)

A′B′C → m(1)

BC → m(3, 7)

Kumpulkan dan baca

F = C + A′B

Kira literal

L = 3

Jawapan

L = 3

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 2

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Implikan perdana

Kumpulan terbesar yang boleh dibentuk daripada 1 dan X.

BC′, B′CD′, A′CD′, A′BD′

Implikan perdana penting

BC′, B′CD′

N = 2

Jawapan

N = 2

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: φ(95) = 72

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Faktor perdana

95 = 5·19

Totien

φ(95) = φ(19)·φ(5) = 18·4 = 72

Jawapan

φ(95) = 72

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: c = 88

Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.

Kuasa dua berulang

17 = 16 + 1

37¹ ≡ 37 (mod 527)

37² ≡ 315 (mod 527)

37⁴ ≡ 149 (mod 527)

A · Kunci yang sama mesti mempunyai nilai cincang yang sama

13.Teori graf

Jawapan: tiada kedua-duanya

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; K_n mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Darjah

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Bucu ganjil

A, B, C, E → 4

tiada kedua-duanya

Jawapan

tiada kedua-duanya

14.Teori graf

Jawapan: d(F) = 33

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 9, C: 12

B (9): D: 19, E: 22

C (12)

D (19)

E (22): F: 33

F (33)

Laluan terpendek

A → B → E → F

Bit yang dipinjam

25 − 20 = 5

Bilangan subnet

N = 2⁵ = 32

Jawapan

N = 32

Setiap subnet /25 mempunyai 2⁷ − 2 = 126 hos boleh guna.

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 215

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Saiz blok

2³ = 8

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊210/8⌋·8 = 208

siaran: 208 + 8 − 1 = 215

hos boleh guna: 209 … 214

Jawapan

x = 215

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals