Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tetapkan bit supaya ia menyimpan −45 dalam pelengkap dua 8-bit. Dibaca sebagai nombor tanpa tanda, apakah nilai corak U?

N = −458 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Satu imej tanpa mampatan berukuran 640 × 480 piksel dengan 32 bit setiap piksel. Berapakah memori M yang diambilnya, dalam KiB (1 KiB = 1024 bait)?

640 × 480 px32 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Formula manakah yang setara secara logik dengan ¬(b ∧ a)? Klik formula itu.

¬(b ∧ a)

1¬b ∧ ¬a
2¬b ∨ ¬a
3¬b ∧ a
4¬b ∨ a

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Premis (p ∧ r) → q; p; ¬q diberikan. Kesimpulan manakah yang terhasil daripadanya? Klik kesimpulan itu.

(p ∧ r) → qp¬q

1¬r
2r
3r ∧ ¬q
4q

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Gunakan peta Karnaugh untuk mencari bentuk hasil tambah hasil darab (SOP) minimum bagi F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 5, 6, 8). Berapa banyak sebutan hasil darab N yang ada padanya?

F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 5, 6, 8)

N =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Cari bentuk SOP minimum bagi F(A, B, C, D) = Σm(3, 4, 10, 13) + d(1, 2, 5, 8), dengan d menandakan keadaan tidak peduli. Berapa banyak literal L yang terkandung dalamnya?

F(A, B, C, D) = Σm(3, 4, 10, 13) + d(1, 2, 5, 8)

L =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari songsangan 34 modulo 73: nombor x dengan 0 < x < 73 dan 34·x ≡ 1 (mod 73).

a = 34n = 73

34⁻¹ mod 73 =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Selesaikan 10x ≡ 8 (mod 16). Beri penyelesaian positif terkecil x.

10x ≡ 8 (mod 16)

x =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Sesuatu fungsi menjalankan satu gelung n lelaran dan kemudian, secara berasingan, satu lagi gelung n lelaran. Apakah kerumitan masanya?

AO(2ⁿ)
BO(n²)
CO(n)
DO(log n)

10.Algoritma & kerumitanSukar

Mengapakah algoritma Dijkstra boleh memberikan keputusan yang salah apabila sesetengah pemberat sisi negatif?

AIa masuk ke dalam gelung tak terhingga pada setiap sisi negatif
BNombor negatif tidak boleh disimpan dalam baris gilir keutamaan
CSesuatu bucu dimuktamadkan apabila dikeluarkan, tetapi sisi negatif kemudian masih boleh memberinya laluan yang lebih pendek
DIa hanya berfungsi pada graf tidak berarah

11.Struktur dataSederhana

Berapa lamakah carian perkataan sepanjang L dalam trie dengan abjad tetap?

AO(n), dengan n ialah bilangan perkataan
BO(L), tanpa bergantung pada berapa banyak perkataan disimpan
CO(log n), dengan n ialah bilangan perkataan
DO(L × n)

12.Struktur dataSukar

Struktur union-find (set tercerai) dengan penyatuan mengikut pangkat dan pemampatan laluan mempunyai kos teramortisasi setiap operasi sebanyak:

AO(n)
BO(α(n)), fungsi songsang Ackermann, yang hampir malar secara praktikal
CO(n²)
DO(log n) tepat

13.Teori grafSederhana

Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.

|V| = 7|E| = 10

1Litar Euler
2Laluan Euler, tiada litar
3tiada kedua-duanya

14.Teori grafSukar

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F

d(F) =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Apakah yang dipulangkan oleh SELECT COALESCE(phone, 'unknown') FROM customers bagi pelanggan yang phone-nya NULL?

ARentetan kosong
BRalat
C'unknown'
DNULL

16.Pangkalan data & SQLSukar

Pangkalan data pelaporan menyalin nama pelanggan ke dalam jadual orders untuk mengelak cantuman. Apakah kos utama denormalisasi ini?

ASalinan berlebihan mesti dikekalkan konsisten setiap kali data pelanggan berubah
BPertanyaan pada jadual orders menjadi lebih perlahan
CPangkalan data tidak boleh menggunakan indeks lagi
DKunci utama tidak lagi boleh digunakan

17.Rangkaian komputerSederhana

Sebuah penghala mempunyai laluan untuk 10.0.0.0/8 dan 10.1.0.0/16. Laluan manakah yang digunakannya untuk paket ke 10.1.5.5?

A10.0.0.0/8, kerana ia meliputi lebih banyak alamat daripada /16
B10.0.0.0/8, kerana ia ditambah dahulu
C10.1.0.0/16, kerana ia awalan padanan terpanjang
DKedua-dua laluan, membahagikan trafik sama rata

18.Rangkaian komputerSukar

Seorang pengguna boleh melakukan ping ke 8.8.8.8 tetapi tidak dapat membuka sebarang laman web mengikut nama. Di manakah masalahnya yang paling berkemungkinan?

APemacu kad rangkaian
BPenyelesaian nama (DNS)
CKabel fizikal
DGet laluan lalai

19.Subnet IPv4Sederhana

Rangkaian 192.168.24.0/24 dibahagikan kepada subnet /28, bernombor 1, 2, 3, … dari alamat terendah (subnet 1 bermula pada .0). Apakah oktet keempat x alamat siaran subnet 7?

192.168.24.0/24/28subnet 7 (subnet 1 bermula pada .0)

x =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.242.55/28. Apakah oktet keempat x bagi alamat hos boleh guna yang terakhir dalam subnetnya?

10.20.242.55/28

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 211

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Songsang dan tambah satu

45 = 0010 1101

disongsangkan: 1101 0010

+1 → 1101 0011

Baca sebagai tanpa tanda

1101 0011₂ = 256 − 45 = 211

Jawapan

U = 211

2.Sistem nombor

Jawapan: M = 1200 KiB

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Bit dan bait

640·480·32 = 9830400 bit = 1228800 B

Tukar kepada KiB

1228800/1024 = 1200 KiB

Jawapan

M = 1200 KiB

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ¬b ∨ ¬a

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Hukum

De Morgan: ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b. ∧ bertukar menjadi ∨ dan kedua-dua bahagian dinafikan.

¬(b ∧ a) ≡ ¬b ∨ ¬a

Semak dengan jadual kebenaran

a = 1, b = 1: 0 | 0 0 0 1

a = 1, b = 0: 1 | 0 1 1 1

a = 0, b = 1: 1 | 0 1 0 0

a = 0, b = 0: 1 | 1 1 0 1

Jawapan

¬b ∨ ¬a

Lajur selepas palang ialah pilihan mengikut susunan yang ditunjukkan.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ¬r

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Baris dengan semua premis benar

p = 1, q = 0, r = 0: ¬r = 1, r = 0, r ∧ ¬q = 0, q = 0

Kesimpulan

¬r (modus tollens dengan konjungsi)

Jawapan

¬r

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 3

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Kumpulkan 1

Setiap kumpulan ialah segi empat tepat 2ᵏ sel; sel tepi berjiran dengan sel pada tepi bertentangan.

A′CD′

A′BC′

AB′C′D′

Bentuk SOP minimum

F = A′CD′ + A′BC′ + AB′C′D′

N = 3

Jawapan

N = 3

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: L = 12

Implikan perdana

Kumpulan terbesar yang boleh dibentuk daripada 1 dan X.

B′CD′, BC′D, A′B′D, AB′D′, A′B′C, A′BC′

Liputan minimum

F = B′CD′ + BC′D + A′B′D + A′BC′

L = 12

Jawapan

L = 12

Terdapat pengumpulan lain yang sama saiz; ia mempunyai bilangan sebutan dan literal yang sama.

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 34⁻¹ mod 73 = 58

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algoritma Euclid lanjutan

Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·34 (mod 73).

r = 73, t = 0

r = 34, q = 2, t = 1

r = 5, q = 6, t = −2

r = 4, q = 1, t = 13

r = 1, q = 4, t = −15

Songsangan

1 ≡ −15·34 (mod 73)

x = 58

semakan: 34·58 = 1972 = 27·73 + 1

Jawapan

34⁻¹ mod 73 = 58

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 4

Bahagi dengan gcd

gcd(10, 16) = 2

5x ≡ 4 (mod 8)

Selesaikan kongruen yang telah dipermudah

5⁻¹ ≡ 5 (mod 8) → x ≡ 4 (mod 8)

Penyelesaian modulo 16

x ∈ {4, 12}

Darjah

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 4

Bucu ganjil

A, C, D, F → 4

tiada kedua-duanya

Jawapan

tiada kedua-duanya

14.Teori graf

Jawapan: d(F) = 18

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 8

B (8): C: 14, D: 12, G: 15

D (12): E: 15, F: 19

C (14)

E (15): F: 18

G (15)

F (18)

Laluan terpendek

A → B → D → E → F

Saiz blok

2⁴ = 16

Subnet nombor 7

rangkaian: (7 − 1)·16 = 96

siaran: 96 + 16 − 1 = 111

Jawapan

x = 111

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 62

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Saiz blok

2⁴ = 16

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊55/16⌋·16 = 48

siaran: 48 + 16 − 1 = 63

hos boleh guna: 49 … 62

Jawapan

x = 62

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals