Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tetapkan bit supaya ia menyimpan −22 dalam pelengkap dua 8-bit. Dibaca sebagai nombor tanpa tanda, apakah nilai corak U?

N = −228 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Tetapkan bit kepada hasil 8-bit bagi 1011 1101 AND 0011 0100. Apakah nilai hasil R dalam perpuluhan?

1011 1101AND0011 0100

R =

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Adakah (q ∧ p) → q tautologi, percanggahan atau kontingensi? Klik jawapan anda.

(q ∧ p) → q

1tautologi
2percanggahan
3kontingensi

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Pernyataan manakah yang setara dengan ¬∃x (P(x) → Q(x)), dengan penafian dialihkan sepenuhnya ke dalam? Klik pernyataan itu.

¬∃x (P(x) → Q(x))

1∀x (P(x) → ¬Q(x))
2∀x (¬P(x) → ¬Q(x))
3∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))
4∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Gunakan peta Karnaugh untuk mencari bentuk hasil darab hasil tambah (POS) minimum bagi F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10). Berapa banyak sebutan hasil tambah (faktor) N yang ada padanya?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10)

N =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

pembilang mod-9 segerak mengira 0, 1, …, 8 dan kemudian kembali ke 0. Ia bermula pada 6. Apakah kiraan Q (dalam perpuluhan) yang ditunjukkan selepas 15 denyut jam?

Q₀ = 615N = 9

Q =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari songsangan 30 modulo 67: nombor x dengan 0 < x < 67 dan 30·x ≡ 1 (mod 67).

a = 30n = 67

30⁻¹ mod 67 =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Kunci RSA menggunakan nombor perdana p = 11 dan q = 23 serta eksponen awam e = 7. Cari eksponen persendirian d (0 < d < φ(n)).

p = 11q = 23e = 7

d =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah masa larian isihan radiks LSD pada n integer dengan d digit dalam asas k?

AO(d(n + k))
BO(n log n)
CO(dn log k)
DO(n²)

10.Algoritma & kerumitanSukar

Apakah yang dibuktikan oleh teorem Cook–Levin?

ASetiap masalah NP boleh diselesaikan dalam masa eksponen
BP tidak sama dengan NP
CMasalah kebolehpuasan Boolean (SAT) ialah NP-lengkap
DMasalah penghentian tidak boleh diputuskan

11.Struktur dataSederhana

Syarat keseimbangan apakah yang dikekalkan oleh pokok AVL pada setiap nod?

ASemua daun berada pada kedalaman yang tepat sama
BSetiap nod diwarnakan merah atau hitam
CKetinggian subpokok kiri dan kanan berbeza paling banyak 1
DKedua-dua subpokok bagi setiap nod mengandungi bilangan nod yang betul-betul sama

12.Struktur dataSukar

Kunci 5, 3, 8, 1 disisip mengikut susunan ini ke dalam timbunan min binari berasaskan tatasusunan yang kosong. Apakah tatasusunan akhir?

A[3, 1, 8, 5]
B[1, 3, 8, 5]
C[1, 5, 8, 3]
D[1, 3, 5, 8]

13.Teori grafSederhana

Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.

|V| = 5|E| = 6

1Litar Euler
2Laluan Euler, tiada litar
3tiada kedua-duanya

14.Teori grafSukar

Berapa banyak jalan sepanjang 3 dari C ke A? Jalan boleh mengulang bucu dan sisi. Panggil nombor ini N.

M = matriks kejirananL = 3

N =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Apakah yang dipulangkan oleh SELECT SUM(amount) FROM orders apabila klausa WHERE tidak sepadan dengan sebarang baris?

ARalat
B0
CNULL
DRentetan kosong

16.Pangkalan data & SQLSukar

Selepas customers LEFT JOIN orders, mengapakah menggunakan COUNT(o.id) dan bukan COUNT(*) untuk mengira pesanan bagi setiap pelanggan?

ACOUNT(o.id) hanya mengira pelanggan berbeza
BCOUNT(*) tidak dibenarkan selepas cantuman
CCOUNT(*) mengira baris berisi NULL sebagai 1 bagi pelanggan tanpa pesanan
DCOUNT(*) mengabaikan baris dengan nilai NULL

17.Rangkaian komputerSederhana

Apakah peranan get laluan lalai (default gateway) pada hos?

AIa penghala yang digunakan untuk trafik ke rangkaian lain
BIa pelayan DNS
CIa menetapkan alamat MAC
DIa port suis tempat hos disambungkan

18.Rangkaian komputerSukar

Sebuah suis 8 port (tanpa VLAN) mempunyai satu hos pada setiap port. Berapakah bilangan domain perlanggaran dan domain siaran?

A1 domain perlanggaran, 8 domain siaran
B8 domain perlanggaran, 8 domain siaran
C8 domain perlanggaran, 1 domain siaran
D1 domain perlanggaran, 1 domain siaran

19.Subnet IPv4Sederhana

Sebuah jabatan memerlukan 1566 alamat hos dalam satu subnet. Apakah panjang awalan terpanjang p (subnet terkecil) yang cukup besar?

1566 hosts

p =

20.Subnet IPv4Sukar

Rangkaian 192.168.167.0/24 dibahagikan dengan VLSM untuk LAN berikut: A: 21 hos, B: 4 hos, C: 6 hos, D: 17 hos, E: 11 hos. Subnet diperuntukkan dari .0 ke atas, LAN dengan hos paling banyak dahulu, masing-masing dengan subnet terkecil yang muat. Apakah oktet keempat x alamat rangkaian LAN B?

A: 21B: 4C: 6D: 17E: 11

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 234

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Songsang dan tambah satu

22 = 0001 0110

disongsangkan: 1110 1001

+1 → 1110 1010

Baca sebagai tanpa tanda

1110 1010₂ = 256 − 22 = 234

Jawapan

U = 234

2.Sistem nombor

Jawapan: R = 52

Bit demi bit

AND memberikan 1 hanya di mana kedua-dua bit ialah 1.

1011 1101

AND 0011 0100

= 0011 0100

Nilai hasil

0011 0100₂ = 52

Jawapan

R = 52

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: tautologi

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Jadual kebenaran baris demi baris

p = 1, q = 1: q ∧ p = 1, (q ∧ p) → q = 1

p = 1, q = 0: q ∧ p = 0, (q ∧ p) → q = 1

p = 0, q = 1: q ∧ p = 0, (q ∧ p) → q = 1

p = 0, q = 0: q ∧ p = 0, (q ∧ p) → q = 1

Kelaskan

(q ∧ p) → q: 1, 1, 1, 1

1 dalam setiap baris: tautologi.

Jawapan

tautologi

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Alihkan penafian ke dalam

¬∃x (P(x) → Q(x)) ≡ ∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))

Jawapan

∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))

Pilihan lain sama ada mengekalkan pengkuantiti tanpa perubahan, mengubah susunan pengkuantiti, atau menafikan formula dalam dengan salah.

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 4

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Kumpulkan 0

Setiap kumpulan ialah segi empat tepat 2ᵏ sel; sel tepi berjiran dengan sel pada tepi bertentangan.

(B + C + D)

(B′ + C′ + D)

(A′ + C′ + D′)

(A′ + B′)

Bentuk POS minimum

F = (B + C + D)(B′ + C′ + D)(A′ + C′ + D′)(A′ + B′)

N = 4

Jawapan

N = 4

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: Q = 3

Flip-flop dan pembilang: flip-flop hanya berubah pada pinggir jam yang aktif. D menyalin inputnya (Q⁺ = D); T bertukar keadaan apabila T = 1; JK kekal untuk 00, set semula untuk 01, set untuk 10 dan bertukar keadaan untuk 11. Pembilang perduaan n-bit mempunyai 2ⁿ keadaan dan mengira modulo 2ⁿ; pembilang mod-N mengira 0, 1, …, N − 1 dan kembali ke 0, dan memerlukan flip-flop sebanyak n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N. Setiap peringkat pembilang riak membahagi dua frekuensi, maka output terakhir pembilang mod-N berjalan pada f_clk/N. Pembilang Johnson dengan n flip-flop mempunyai 2n keadaan, pembilang gelang n.

Kitaran penuh

Setiap 9 denyut membawa pembilang kembali ke keadaan yang sama.

15 = 1·9 + 6

Kiraan selepas denyut yang tinggal

Q = (6 + 6) mod 9 = 3

Q = 0011₂

Jawapan

Q = 3

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 30⁻¹ mod 67 = 38

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algoritma Euclid lanjutan

Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·30 (mod 67).

r = 67, t = 0

r = 30, q = 2, t = 1

r = 7, q = 4, t = −2

r = 2, q = 3, t = 9

r = 1, q = 2, t = −29

Songsangan

1 ≡ −29·30 (mod 67)

x = 38

semakan: 30·38 = 1140 = 17·67 + 1

Jawapan

30⁻¹ mod 67 = 38

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: d = 63

Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.

Modulus dan totien

n = 11·23 = 253

φ(n) = 10·22 = 220

Algoritma Euclid lanjutan

r = 220, t = 0

r = 7, q = 31, t = 1

r = 3, q = 2, t = −31

r = 1, q = 3, t = 63

Eksponen persendirian

d = 63

Darjah

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Bucu ganjil

B, C → 2

Laluan Euler, tiada litar

Jawapan

Laluan Euler, tiada litar

Laluan Euler bermula pada satu bucu ganjil dan berakhir pada bucu ganjil yang lain.

14.Teori graf

Jawapan: N = 5

Darjah: darjah sesuatu bucu ialah bilangan sisi yang bertemu padanya. Setiap sisi mempunyai dua hujung, maka jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi: Σ deg(v) = 2|E| (lema jabat tangan). Bilangan bucu berdarjah ganjil oleh itu genap. K_n mempunyai n(n − 1)/2 sisi, graf k-sekata pada n bucu mempunyai nk/2, dan pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Matriks kejiranan

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 1 1 1 0

C: 1 1 0 0 1 0

C · 8 domain perlanggaran, 1 domain siaran

19.Subnet IPv4

Jawapan: p = 21

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Bit hos yang diperlukan

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1566

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1566 → h = 11

Panjang awalan

p = 32 − 11 = 21

Jawapan

p = /21

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 88

VLSM: setiap LAN mendapat subnet terkecil dengan 2ʰ − 2 ≥ bilangan hosnya, iaitu awalan 32 − h. Memperuntukkan subnet terbesar dahulu memastikan setiap blok sejajar pada gandaan saiznya sendiri, maka alamat rangkaian diperoleh dengan menambah saiz blok.

Saiz blok bagi setiap LAN

A: 21 hos → 2⁵ = 32 (/27)

D: 17 hos → 2⁵ = 32 (/27)

E: 11 hos → 2⁴ = 16 (/28)

C: 6 hos → 2³ = 8 (/29)

B: 4 hos → 2³ = 8 (/29)

Peruntukan, yang terbesar dahulu

A: .0 – .31

D: .32 – .63

E: .64 – .79

C: .80 – .87

B: .88 – .95

Jawapan

x = 88

LAN B: 192.168.167.88/29.

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals