Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tulis −103 sebagai corak pelengkap dua 8-bit. Baca corak itu sebagai nombor perduaan tanpa tanda: apakah nilainya U dalam perpuluhan?

N = −1038 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Tetapkan bit kepada hasil 8-bit bagi 0011 0001 OR 0100 1011. Apakah nilai hasil R dalam perpuluhan?

0011 0001OR0100 1011

R =

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Formula manakah yang setara secara logik dengan ¬(r ↔ p)? Klik formula itu.

¬(r ↔ p)

1r ↔ ¬p
2¬r ∨ ¬p
3¬r ↔ ¬p
4r ∧ ¬p

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Pernyataan manakah yang setara dengan ¬∀x (A(x) ∨ B(x)), dengan penafian dialihkan sepenuhnya ke dalam? Klik pernyataan itu.

¬∀x (A(x) ∨ B(x))

1∀x (¬A(x) ∧ ¬B(x))
2∀x (¬A(x) ∨ ¬B(x))
3∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))
4∃x (¬A(x) ∨ ¬B(x))

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Gunakan peta Karnaugh untuk mencari bentuk hasil tambah hasil darab (SOP) minimum bagi F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 15). Berapa banyak literal L yang terkandung dalamnya secara keseluruhan (pemboleh ubah berperdana dikira satu literal)?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 15)

L =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Flip-flop JK dicetus pinggir positif bermula dengan Q = 0 dan menerima input yang ditunjukkan. Klik pinggir jam pertama yang Q-nya berubah daripada 1 kembali kepada 0.

Q₀ = 0JK

1pinggir jam 1
2pinggir jam 2
3pinggir jam 3
4pinggir jam 4
5pinggir jam 5
6pinggir jam 6
7pinggir jam 7

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari fungsi totien Euler φ(52), bilangan integer dari 1 hingga 52 yang perdana relatif dengan 52.

n = 52 = 2²·13

φ(52) =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Berapa banyak penyelesaian N yang ada pada 16x ≡ 2 (mod 18) dalam {0, 1, …, 17}?

16x ≡ 2 (mod 18)

N =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah penyelesaian hubungan jadi semula T(n) = T(n/2) + O(1)?

AO(n)
BO(log n)
CO(n log n)
DO(1)

10.Algoritma & kerumitanSukar

Pernyataan manakah tentang memilih elemen terkecil ke-k dalam tatasusunan tidak tersusun yang betul?

APemilihan hanya mungkin dalam O(n²)
BQuickselect berjalan dalam O(n) dijangka, dan median-bagi-median menjamin O(n) kes terburuk
CQuickselect berjalan dalam O(log n) kes terburuk, kerana ia berekursi pada satu sebelah pangsi sahaja
DPemilihan sentiasa memerlukan Ω(n log n) kerana ia memerlukan pengisihan

11.Struktur dataSederhana

Apakah ketinggian kes terburuk pokok carian binari dengan n nod jika kunci disisip mengikut susunan tersusun?

A1
Bn (ia menjadi senarai berpaut)
Clog₂ n
D√n

12.Struktur dataSukar

Dalam algoritma pokok rentang minimum Kruskal, untuk apakah struktur union-find digunakan?

AMemilih bucu permulaan
BMenyemak sama ada dua hujung sesuatu sisi sudah bersambung
CMengisih sisi mengikut pemberat
DMenyimpan jarak semasa setiap bucu dari sumber semasa carian

13.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 10 bucu dan 20 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 10|E| = 20

k =

14.Teori grafSukar

Cari jumlah berat W pokok rentang minimum bagi graf berpemberat itu.

|V| = 6|E| = 8

W =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

LEFT JOIN memulangkan:

ASemua baris daripada jadual kanan sahaja
BSemua baris daripada jadual kiri dan baris sepadan daripada kanan, dengan NULL di mana tiada padanan
CBaris yang tidak sepadan dalam kedua-dua jadual
DHanya baris sepadan daripada kedua-dua jadual

16.Pangkalan data & SQLSukar

Pertanyaan FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.status = 'paid' secara tidak dijangka menggugurkan pelanggan tanpa pesanan. Mengapa?

ACantuman patut menggunakan USING dan bukan ON
BLEFT JOIN tidak pernah mengekalkan baris tidak sepadan
CSyarat WHERE pada o menolak baris berisi NULL, menjadikannya cantuman dalam (inner join)
Dstatus ialah perkataan terpelihara

17.Rangkaian komputerSederhana

Medan pengepala IPv4 manakah yang menghalang paket daripada berlegar selama-lamanya dalam gelung penghalaan?

AMasa hidup (TTL)
BPengenalan
CJenis perkhidmatan
DHasil tambah semak pengepala

18.Rangkaian komputerSukar

Menurut formula Nyquist, apakah kadar bit maksimum saluran 3 kHz tanpa hingar yang menggunakan 4 aras isyarat?

A6 kbit/s
B12 kbit/s
C24 kbit/s
D3 kbit/s

19.Subnet IPv4Sederhana

Sebuah jabatan memerlukan 1111 alamat hos dalam satu subnet. Apakah panjang awalan terpanjang p (subnet terkecil) yang cukup besar?

1111 hosts

p =

20.Subnet IPv4Sukar

Satu hos mempunyai alamat 172.20.55.36/17. Apakah oktet ketiga x alamat siaran subnetnya?

172.20.55.36/17

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 153

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Songsang dan tambah satu

103 = 0110 0111

disongsangkan: 1001 1000

+1 → 1001 1001

Baca sebagai tanpa tanda

1001 1001₂ = 256 − 103 = 153

Jawapan

U = 153

2.Sistem nombor

Jawapan: R = 123

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Bit demi bit

OR memberikan 1 di mana sekurang-kurangnya satu bit ialah 1.

0011 0001

OR 0100 1011

= 0111 1011

Nilai hasil

0111 1011₂ = 123

Jawapan

R = 123

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: r ↔ ¬p

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Hukum

¬(a ↔ b) ialah 1 tepat apabila a dan b berbeza, iaitu a ↔ ¬b.

¬(r ↔ p) ≡ r ↔ ¬p

Semak dengan jadual kebenaran

p = 1, r = 1: 0 | 0 0 1 0

p = 1, r = 0: 1 | 1 1 0 0

p = 0, r = 1: 1 | 1 1 0 1

p = 0, r = 0: 0 | 0 1 1 0

Jawapan

r ↔ ¬p

Lajur selepas palang ialah pilihan mengikut susunan yang ditunjukkan.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Alihkan penafian ke dalam

¬∀x (A(x) ∨ B(x)) ≡ ∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))

Jawapan

∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))

Pilihan lain sama ada mengekalkan pengkuantiti tanpa perubahan, mengubah susunan pengkuantiti, atau menafikan formula dalam dengan salah.

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: L = 22

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Kumpulkan 1

Setiap kumpulan ialah segi empat tepat 2ᵏ sel; sel tepi berjiran dengan sel pada tepi bertentangan.

B′C′D

B′CD′

A′CD′

ACD

A′B′D′

A′BD

ABC′D′

Bentuk SOP minimum

F = B′C′D + B′CD′ + A′CD′ + ACD + A′B′D′ + A′BD + ABC′D′

L = 22

Jawapan

L = 22

Terdapat pengumpulan lain yang sama saiz; ia mempunyai bilangan sebutan dan literal yang sama.

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: pinggir jam 4

Flip-flop dan pembilang: flip-flop hanya berubah pada pinggir jam yang aktif. D menyalin inputnya (Q⁺ = D); T bertukar keadaan apabila T = 1; JK kekal untuk 00, set semula untuk 01, set untuk 10 dan bertukar keadaan untuk 11. Pembilang perduaan n-bit mempunyai 2ⁿ keadaan dan mengira modulo 2ⁿ; pembilang mod-N mengira 0, 1, …, N − 1 dan kembali ke 0, dan memerlukan flip-flop sebanyak n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N. Setiap peringkat pembilang riak membahagi dua frekuensi, maka output terakhir pembilang mod-N berjalan pada f_clk/N. Pembilang Johnson dengan n flip-flop mempunyai 2n keadaan, pembilang gelang n.

Q selepas setiap pinggir

Flip-flop JK: 00 kekal, 01 set semula (Q = 0), 10 set (Q = 1), 11 bertukar keadaan.

1: J = 0, K = 1 → Q = 0

2: J = 0, K = 1 → Q = 0

3: J = 1, K = 0 → Q = 1

4: J = 0, K = 1 → Q = 0

5: J = 1, K = 0 → Q = 1

6: J = 0, K = 0 → Q = 1

7: J = 1, K = 0 → Q = 1

Perubahan pertama daripada 1 kepada 0

pinggir jam 4

Jawapan

pinggir jam 4

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: φ(52) = 24

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Faktor perdana

52 = 2²·13

Totien

φ(52) = φ(4)·φ(13) = 2·12 = 24

Jawapan

φ(52) = 24

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: N = 2

Bahagi dengan gcd

gcd(16, 18) = 2

8x ≡ 1 (mod 9)

Selesaikan kongruen yang telah dipermudah

8⁻¹ ≡ 8 (mod 9) → x ≡ 8 (mod 9)

Penyelesaian modulo 18

x ∈ {8, 17}

Sisi pokok rentang

10 − 1 = 9

Sisi untuk dibuang

k = 20 − 9 = 11

Jawapan

k = 11

14.Teori graf

Jawapan: W = 41

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

BC (2): ambil

CE (4): ambil

AC (7): ambil

B · 12 kbit/s

19.Subnet IPv4

Jawapan: p = 21

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Bit hos yang diperlukan

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1111

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1111 → h = 11

Panjang awalan

p = 32 − 11 = 21

Jawapan

p = /21

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 127

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

Saiz blok dalam oktet ketiga

2⁷ = 128

Subnet hos ini

rangkaian: 172.20.0.0

siaran: 172.20.127.255

Jawapan

x = 127

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals