Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Corak 8-bit 1101 0010 menyimpan integer bertanda dalam pelengkap dua. Apakah nilainya N dalam perpuluhan?

1101 00108 bit

N =

2.Sistem nomborSukar

Satu sistem mesti memberikan setiap satu daripada 2438 item kod perduaan tersendiri dengan panjang yang sama. Apakah bilangan bit terkecil b yang diperlukan?

2438

b = bit

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Formula manakah yang setara secara logik dengan ¬(p → q)? Klik formula itu.

¬(p → q)

1¬p ∧ q
2p → ¬q
3¬p ∨ ¬q
4p ∧ ¬q

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Pernyataan manakah yang setara dengan ¬∀x A(x), dengan penafian dialihkan sepenuhnya ke dalam? Klik pernyataan itu.

¬∀x A(x)

1∀x A(x)
2∀x ¬A(x)
3∃x ¬A(x)
4∃x A(x)

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Dalam peta Karnaugh ini tepat satu 1 tidak mempunyai 1 yang berjiran, maka ia kekal sebagai kumpulan satu sel (minterm penuh empat literal) dalam bentuk SOP minimum. Jiran merentasi tepi peta dikira. Klik sel itu.

F = Σm(0, 1, 3, 4, 15)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Cari bentuk SOP minimum bagi F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 5, 11, 13, 15) + d(2, 6, 9, 14), dengan d menandakan keadaan tidak peduli. Berapa banyak sebutan hasil darab N yang ada padanya?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 5, 11, 13, 15) + d(2, 6, 9, 14)

N =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari integer positif terkecil x dengan x ≡ 1 (mod 5) dan x ≡ 2 (mod 12).

x ≡ 1 (mod 5)x ≡ 2 (mod 12)

x =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Kunci RSA menggunakan p = 19, q = 47 dan e = 17. Nyahsulit teks sulit c = 766: cari mesej m.

p = 19q = 47e = 17c = 766

m =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah yang diukur oleh analisis teramortisasi?

AKos algoritma pada input terbaik
BKos satu operasi yang paling mahal di mana-mana dalam jujukan itu
CKos dijangka merentasi input rawak
DKos purata bagi setiap operasi merentasi jujukan operasi kes terburuk

10.Algoritma & kerumitanSukar

Masalah kebolehpuasan manakah yang diketahui boleh diselesaikan dalam masa polinomial?

A3-SAT, yang setiap klausanya mempunyai tepat tiga literal
BKebolehpuasan litar
C2-SAT, yang setiap klausanya mempunyai paling banyak dua literal
DSAT am pada formula dalam bentuk normal konjungtif

11.Struktur dataSederhana

Dalam baris gilir bulat yang disimpan dalam tatasusunan berkapasiti n, bagaimanakah kedudukan seterusnya selepas indeks i dikira?

A(i + 1) mod n
Bi + 1
C2i + 1
D(i − 1) mod n

12.Struktur dataSukar

Mengapakah elemen tidak boleh sekadar dipadam daripada penapis Bloom piawai dengan mengosongkan bitnya?

APemadaman akan meningkatkan kadar positif palsu kepada 100%
BPenapis Bloom menyimpan elemen penuh, yang tidak dapat dikesan semula selepas dicincang
CBit dalam penapis Bloom tidak boleh diubah selepas dicipta
DBit tersebut mungkin juga milik elemen lain, yang akan menyebabkan negatif palsu

13.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 11 bucu dan 15 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 11|E| = 15

k =

14.Teori grafSukar

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F

d(F) =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Apakah yang dilakukan oleh ROLLBACK TO SAVEPOINT s1?

AMembuat asal seluruh transaksi dari awal
BMenamatkan transaksi dan mengkomit segala-galanya
CMemadam savepoint dan semua jadual yang diubah sejak itu
DMembuat asal perubahan selepas savepoint s1, dengan transaksi kekal terbuka

16.Pangkalan data & SQLSukar

Mengapakah NATURAL JOIN dianggap berisiko dalam pertanyaan pengeluaran?

AIa tidak disokong oleh sebarang pangkalan data
BIa sentiasa memulangkan hasil darab Cartesian
CIa mengabaikan kunci utama dan asing dan hanya mengekalkan baris NULL
DIa mencantumkan pada setiap lajur yang bernama sama, maka lajur baharu boleh mengubah hasil secara senyap

17.Rangkaian komputerSederhana

Mengapakah Wi-Fi menggunakan pengelakan perlanggaran (CSMA/CA) dan bukannya pengesanan perlanggaran?

AIsyarat radio tidak pernah berlanggar
BStesen wayarles tidak dapat mengesan perlanggaran dengan boleh dipercayai semasa menghantar
CWi-Fi hanya membenarkan satu peranti bagi setiap rangkaian
DPengesanan perlanggaran hanya berfungsi pada kabel gentian, bukan pada saluran radio wayarles yang dikongsi

18.Rangkaian komputerSukar

Mengapakah TCP memilih nombor jujukan awal yang tidak boleh diramal bagi setiap sambungan?

AUntuk menyulitkan muatan setiap segmen
BUntuk memilih laluan terbaik ke destinasi bagi segmen sambungan itu
CUntuk mengelakkan kekeliruan dengan segmen lama dan menyukarkan penyelitan segmen palsu
DUntuk memampatkan data dengan lebih cekap

19.Subnet IPv4Sederhana

Rangkaian 10.254.203.0/24 dibahagikan kepada subnet sama saiz dengan awalan /29. Berapakah bilangan subnet N?

10.254.203.0/24/29

N =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.48.189/26. Apakah oktet keempat x bagi alamat rangkaiannya?

10.20.48.189/26

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: N = −46

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Tambah nilai kedudukan

Bit lain mengekalkan nilai positif biasanya.

−128 + 64 + 16 + 2 = −46

Jawapan

N = −46

2.Sistem nombor

Jawapan: b = 12 bit

Kuasa dua

2¹¹ = 2048 < 2438

2¹² = 4096 ≥ 2438

Jawapan

b = 12

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: p ∧ ¬q

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Hukum

¬(a → b) ≡ ¬(¬a ∨ b) ≡ a ∧ ¬b: satu-satunya baris yang implikasinya gagal.

¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q

Semak dengan jadual kebenaran

p = 1, q = 1: 0 | 0 0 0 0

p = 1, q = 0: 1 | 0 1 1 1

p = 0, q = 1: 0 | 1 1 1 0

p = 0, q = 0: 0 | 0 1 1 0

Jawapan

p ∧ ¬q

Lajur selepas palang ialah pilihan mengikut susunan yang ditunjukkan.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ∃x ¬A(x)

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Alihkan penafian ke dalam

¬∀x A(x) ≡ ∃x ¬A(x)

Jawapan

∃x ¬A(x)

Pilihan lain sama ada mengekalkan pengkuantiti tanpa perubahan, mengubah susunan pengkuantiti, atau menafikan formula dalam dengan salah.

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: AB = 11, CD = 11

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Jiran bagi setiap 1

1 yang mempunyai jiran 1 boleh menyertai kumpulan dua atau lebih.

m15: m14, m13, m11, m7 → 0

1 yang terpencil

m15 = ABCD → AB = 11, CD = 11

Jawapan

AB = 11, CD = 11

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 3

Implikan perdana

Kumpulan terbesar yang boleh dibentuk daripada 1 dan X.

C′D, AD, A′BD′, A′BC′, ABC

Liputan minimum

F = C′D + AD + A′BD′

N = 3

Jawapan

N = 3

Terdapat pengumpulan lain yang sama saiz; ia mempunyai bilangan sebutan dan literal yang sama.

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 26

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Kongruen pertama

x = 1 + 5k

Kongruen kedua

1 + 5k ≡ 2 (mod 12) → 5k ≡ 1 (mod 12)

k ≡ 5·1 ≡ 5 (mod 12)

Keputusan

x = 1 + 5·5 = 26

x = 26

semakan: 26 mod 5 = 1, 26 mod 12 = 2

Jawapan

x = 26

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: m = 130

Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.

Eksponen persendirian

n = 893, φ(n) = 828

d = 17⁻¹ mod 828 = 341

Nyahsulit dengan kuasa dua berulang

341 = 256 + 64 + 16 + 4 + 1

766¹ ≡ 766 (mod 893)

766² ≡ 55 (mod 893)

766⁴ ≡ 346 (mod 893)

766⁸ ≡ 54 (mod 893)

766¹⁶ ≡ 237 (mod 893)

766³² ≡ 803 (mod 893)

766⁶⁴ ≡ 63 (mod 893)

766¹²⁸ ≡ 397 (mod 893)

766²⁵⁶ ≡ 441 (mod 893)

766³⁴¹ ≡ 766·346·237·63·441 ≡ 130 (mod 893)

Mesej

m = 130

Sisi pokok rentang

11 − 1 = 10

Sisi untuk dibuang

k = 15 − 10 = 5

Jawapan

k = 5

14.Teori graf

Jawapan: d(F) = 11

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 7, C: 2

C (2): B: 5, E: 10

B (5): D: 20

E (10): F: 11

F (11): D: 12

D (12)

Laluan terpendek

A → C → E → F

Bit yang dipinjam

29 − 24 = 5

Bilangan subnet

N = 2⁵ = 32

Jawapan

N = 32

Setiap subnet /29 mempunyai 2³ − 2 = 6 hos boleh guna.

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 128

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Saiz blok

2⁶ = 64

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊189/64⌋·64 = 128

siaran: 128 + 64 − 1 = 191

hos boleh guna: 129 … 190

Jawapan

x = 128

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals