Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Corak 8-bit 1110 1101 menyimpan integer bertanda dalam pelengkap dua. Apakah nilainya N dalam perpuluhan?

1110 11018 bit

N =

2.Sistem nomborSukar

Satu sistem mesti memberikan setiap satu daripada 3212 item kod perduaan tersendiri dengan panjang yang sama. Apakah bilangan bit terkecil b yang diperlukan?

3212

b = bit

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Anda hendak membuktikan (r ∨ q) → ¬p secara kontrapositif. Implikasi manakah yang anda buktikan sebagai gantinya? Klik implikasi itu.

(r ∨ q) → ¬p

1¬¬p → ¬(r ∨ q)
2¬p → (r ∨ q)
3¬(r ∨ q) → ¬¬p
4(r ∨ q) ∧ ¬¬p

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Berapa banyak daripada 16 baris jadual kebenaran menjadikan ((q ∧ ¬p) → ¬q) ∨ (r ↔ (p ↔ s)) benar? Panggil nombor ini N.

((q ∧ ¬p) → ¬q) ∨ (r ↔ (p ↔ s))

N =

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Dalam peta Karnaugh ini tepat satu 1 tidak mempunyai 1 yang berjiran, maka ia kekal sebagai kumpulan satu sel (minterm penuh empat literal) dalam bentuk SOP minimum. Jiran merentasi tepi peta dikira. Klik sel itu.

F = Σm(0, 3, 4, 6, 7, 10, 13, 14)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Bagi F(A, B, C, D) = Σm(8, 10, 11, 14, 15) + d(4, 6), dengan d menandakan keadaan tidak peduli, cari bilangan N implikan perdana penting.

F(A, B, C, D) = Σm(8, 10, 11, 14, 15) + d(4, 6)

N =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari songsangan 77 modulo 90: nombor x dengan 0 < x < 90 dan 77·x ≡ 1 (mod 90).

a = 77n = 90

77⁻¹ mod 90 =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Gunakan kuasa dua berulang untuk mencari 47¹³² mod 71.

a = 47k = 132n = 71

47¹³² mod 71 =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Pernyataan manakah tentang fungsi rekursif tanpa kes asas yang boleh dicapai yang betul?

AIa berjalan dalam masa O(1)
BIa kembali 0 secara automatik
CIa terus memanggil dirinya sehingga tindanan panggilan melimpah
DPengkompil sentiasa menukarnya menjadi gelung yang berakhir dengan selamat

10.Algoritma & kerumitanSukar

Mengambil kedua-dua hujung setiap sisi dalam padanan maksimal memberikan litupan bucu. Sebaik manakah litupan ini?

APaling banyak log n kali minimum
BSentiasa litupan bucu minimum
CPaling banyak dua kali ganda saiz litupan bucu minimum
DMutunya tidak diketahui berbanding optimum

11.Struktur dataSederhana

Pokok binari mempunyai akar 1 dengan anak kiri 2 dan anak kanan 3; nod 2 mempunyai anak 4 (kiri) dan 5 (kanan). Apakah traversal postorder?

A4 2 5 1 3
B1 2 4 5 3
C4 5 2 3 1
D5 4 3 2 1

12.Struktur dataSukar

Memadam nod dengan dua anak daripada pokok carian binari biasanya dilakukan dengan:

AMenggantikannya dengan pengganti in-order (atau pendahulu) dan memadam nod itu
BMembuang seluruh subpokok
CMembina semula subpokok di bawahnya dari awal dan menyisip semula setiap kunci yang dikandunginya
DMenukarkannya dengan akar

13.Teori grafSederhana

Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.

|V| = 5|E| = 5

1Litar Euler
2Laluan Euler, tiada litar
3tiada kedua-duanya

14.Teori grafSukar

Cari jumlah berat W pokok rentang minimum bagi graf berpemberat itu.

|V| = 7|E| = 9

W =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Jadual a mempunyai 3 baris dan jadual b mempunyai 4 baris. Berapa baris yang dipulangkan oleh SELECT * FROM a CROSS JOIN b?

16.Pangkalan data & SQLSukar

Apakah indeks litupan (covering index) untuk sesuatu pertanyaan?

AIndeks yang meliputi setiap lajur setiap jadual
BIndeks yang dibina semula setiap malam
CIndeks pada kunci utama sahaja
DIndeks yang mengandungi semua lajur yang diperlukan pertanyaan, supaya jadual itu sendiri tidak perlu dibaca

17.Rangkaian komputerSederhana

Apakah tertib lazim mesej apabila klien memperoleh alamat daripada DHCP?

AOffer, Discover, Acknowledge, Request
BRequest, Offer, Discover, Acknowledge
CDiscover, Offer, Request, Acknowledge
DDiscover, Request, Offer, Acknowledge

18.Rangkaian komputerSukar

Apakah yang dilakukan BGP terutamanya di internet?

AMenyelesaikan nama kepada alamat
BMenyulitkan data antara penghala
CMenetapkan alamat IP kepada pengguna rumah melalui penyedia internet mereka
DBertukar maklumat penghalaan antara sistem autonomi

19.Subnet IPv4Sederhana

Sebuah jabatan memerlukan 788 alamat hos dalam satu subnet. Apakah panjang awalan terpanjang p (subnet terkecil) yang cukup besar?

788 hosts

p =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.151.223/28. Apakah oktet keempat x bagi alamat rangkaiannya?

10.20.151.223/28

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: N = −19

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Tambah nilai kedudukan

Bit lain mengekalkan nilai positif biasanya.

−128 + 64 + 32 + 8 + 4 + 1 = −19

Jawapan

N = −19

2.Sistem nombor

Jawapan: b = 12 bit

Kuasa dua

2¹¹ = 2048 < 3212

2¹² = 4096 ≥ 3212

Jawapan

b = 12

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ¬¬p → ¬(r ∨ q)

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Bahagian implikasi

a = r ∨ q, b = ¬p

Kontrapositif

¬b → ¬a = ¬¬p → ¬(r ∨ q)

Jawapan

¬¬p → ¬(r ∨ q)

Kontrapositif setara dengan pernyataan asal, maka membuktikannya membuktikan pernyataan itu.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: N = 14

Jadual kebenaran: formula dengan n pemboleh ubah berbeza mempunyai 2ⁿ baris, satu untuk setiap gabungan nilai kebenaran (1 = benar, 0 = palsu). Bekerja dari dalam ke luar dan beri setiap subformula lajurnya sendiri. ¬a menyongsangkan nilai; a ∧ b ialah 1 hanya apabila kedua-duanya 1; a ∨ b ialah 0 hanya apabila kedua-duanya 0; a → b ialah 0 hanya apabila a = 1 dan b = 0; a ↔ b ialah 1 apabila kedua-dua belah sama.

Lajur

¬p; q ∧ ¬p; ¬q; (q ∧ ¬p) → ¬q; p ↔ s; r ↔ (p ↔ s); ((q ∧ ¬p) → ¬q) ∨ (r ↔ (p ↔ s))

Pecahkan pada p

p = 1: 8

p = 0: 6

N = 8 + 6 = 14

Jawapan

N = 14

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: AB = 11, CD = 01

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Jiran bagi setiap 1

1 yang mempunyai jiran 1 boleh menyertai kumpulan dua atau lebih.

m13: m12, m15, m9, m5 → 0

1 yang terpencil

m13 = ABC′D → AB = 11, CD = 01

Jawapan

AB = 11, CD = 01

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 2

Implikan perdana

Kumpulan terbesar yang boleh dibentuk daripada 1 dan X.

BCD′, AC, AB′D′

Implikan perdana penting

AC, AB′D′

N = 2

Jawapan

N = 2

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 77⁻¹ mod 90 = 83

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algoritma Euclid lanjutan

Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·77 (mod 90).

r = 90, t = 0

r = 77, q = 1, t = 1

r = 13, q = 5, t = −1

r = 12, q = 1, t = 6

r = 1, q = 12, t = −7

Songsangan

1 ≡ −7·77 (mod 90)

x = 83

semakan: 77·83 = 6391 = 71·90 + 1

Jawapan

77⁻¹ mod 90 = 83

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 47¹³² mod 71 = 29

Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.

Eksponen perduaan

132 = 10000100₂ = 128 + 4

Kuasa dua berulang

47¹ ≡ 47 (mod 71)

47² ≡ 8 (mod 71)

47⁴ ≡ 64 (mod 71)

47⁸ ≡ 49 (mod 71)

47¹⁶ ≡ 58 (mod 71)

A · Menggantikannya dengan pengganti in-order (atau pendahulu) dan memadam nod itu

13.Teori graf

Jawapan: tiada kedua-duanya

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; K_n mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Darjah

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Bucu ganjil

A, B, C, E → 4

tiada kedua-duanya

Jawapan

tiada kedua-duanya

14.Teori graf

Jawapan: W = 68

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

DF (1): ambil

AC (8): ambil

AB (11): ambil

DE (13): ambil

D · Bertukar maklumat penghalaan antara sistem autonomi

19.Subnet IPv4

Jawapan: p = 22

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Bit hos yang diperlukan

2⁹ − 2 = 510 < 788

2¹⁰ − 2 = 1022 ≥ 788 → h = 10

Panjang awalan

p = 32 − 10 = 22

Jawapan

p = /22

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 208

Saiz blok

2⁴ = 16

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊223/16⌋·16 = 208

siaran: 208 + 16 − 1 = 223

hos boleh guna: 209 … 222

Jawapan

x = 208

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals