Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tetapkan bit supaya ia menyimpan −116 dalam pelengkap dua 8-bit. Dibaca sebagai nombor tanpa tanda, apakah nilai corak U?

N = −1168 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Tetapkan bit kepada hasil 8-bit bagi 1101 1011 AND 1001 1100. Apakah nilai hasil R dalam perpuluhan?

1101 1011AND1001 1100

R =

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Formula manakah yang setara secara logik dengan (p ∧ q) → r? Klik formula itu.

(p ∧ q) → r

1p → (q → r)
2(p → q) → r
3p ∧ (q → r)
4(p → r) ∧ (q → r)

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Pernyataan manakah yang setara dengan ¬∀x (A(x) → ∃y R(x, y)), dengan penafian dialihkan sepenuhnya ke dalam? Klik pernyataan itu.

¬∀x (A(x) → ∃y R(x, y))

1∃x (¬A(x) ∧ ∃y R(x, y))
2∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
3∃x (A(x) → ∀y ¬R(x, y))
4∀x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Gunakan peta Karnaugh untuk mencari bentuk hasil tambah hasil darab (SOP) minimum bagi F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 15). Berapa banyak sebutan hasil darab N yang ada padanya?

F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 15)

N =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Bagi F(A, B, C, D) = Σm(3, 5, 6, 8, 12, 13, 14) + d(0, 2, 7), dengan d menandakan keadaan tidak peduli, cari bilangan N implikan perdana penting.

F(A, B, C, D) = Σm(3, 5, 6, 8, 12, 13, 14) + d(0, 2, 7)

N =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari integer positif terkecil x dengan x ≡ 5 (mod 8) dan x ≡ 6 (mod 11).

x ≡ 5 (mod 8)x ≡ 6 (mod 11)

x =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Selesaikan 10x ≡ 22 (mod 24). Beri penyelesaian positif terkecil x.

10x ≡ 22 (mod 24)

x =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Dengan syiling 1, 3 dan 4 dan jumlah 6, berapa banyak syiling yang digunakan oleh kaedah tamak "syiling terbesar dahulu", berbanding optimum?

ATamak menggunakan 2 syiling; optimum ialah 2
BTamak menggunakan 3 syiling; optimum ialah 2
CTamak menggunakan 3 syiling; optimum ialah 3
DTamak menggunakan 4 syiling; optimum ialah 3

10.Algoritma & kerumitanSukar

Apakah yang dibuktikan oleh teorem Cook–Levin?

AMasalah penghentian tidak boleh diputuskan
BP tidak sama dengan NP
CMasalah kebolehpuasan Boolean (SAT) ialah NP-lengkap
DSetiap masalah NP boleh diselesaikan dalam masa eksponen

11.Struktur dataSederhana

Kunci 50, 30, 70, 20, 40 disisip mengikut susunan ini ke dalam pokok carian binari kosong. Apakah anak kiri 30?

12.Struktur dataSukar

Supaya jadual cincang berfungsi dengan betul, peraturan manakah yang mesti diikuti oleh cincang dan kesamaan?

AKunci yang sama mesti mempunyai nilai cincang yang sama
BNilai cincang yang sama membayangkan kunci yang sama
CKunci yang berbeza mesti mempunyai nilai cincang yang berbeza
DNilai cincang mesti nombor perdana

13.Teori grafSederhana

Berapa banyak litar Hamilton H yang berbeza pada graf lengkap K₇? Litar yang hanya berbeza pada bucu permulaan atau arah dikira sama.

K₇

H =

14.Teori grafSukar

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(D) laluan terpendek dari A ke D dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: D

d(D) =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Dalam aljabar relasi, operator unjuran (π) sepadan dengan:

AMenyusun hasil
BMemilih lajur mana yang muncul dalam hasil
CMemilih baris mana yang memenuhi syarat tertentu
DMencantumkan dua jadual pada kunci

16.Pangkalan data & SQLSukar

Aplikasi menjalankan UPDATE item SET qty = 4, version = 8 WHERE id = 1 AND version = 7, dan melaporkan konflik jika tiada baris dikemas kini. Apakah teknik ini?

ASharding pangkalan data
BPenguncian dua fasa ketat dengan kunci baris
CKawalan keserentakan optimistik
DPengelogan tulis-dahulu

17.Rangkaian komputerSederhana

Apakah alamat gelung balik IPv6?

Aff02::1
B::1
C::
Dfe80::1

18.Rangkaian komputerSukar

Fasa "permulaan perlahan" (slow start) kawalan kesesakan TCP:

ADigunakan oleh UDP sahaja
BMengurangkan separuh tetingkap kesesakan setiap perjalanan pergi balik sehingga kehilangan paket dikesan
CMengekalkan tetingkap tetap pada satu segmen
DMeningkatkan tetingkap kesesakan secara eksponen sehingga ambang atau kehilangan

19.Subnet IPv4Sederhana

Satu subnet menggunakan topeng 255.255.255.252. Berapakah bilangan alamat hos H yang boleh digunakan?

255.255.255.252

H =

20.Subnet IPv4Sukar

Rangkaian 192.168.212.0/24 dibahagikan dengan VLSM untuk LAN berikut: A: 3 hos, B: 18 hos, C: 4 hos, D: 10 hos, E: 22 hos. Subnet diperuntukkan dari .0 ke atas, LAN dengan hos paling banyak dahulu, masing-masing dengan subnet terkecil yang muat. Apakah oktet keempat x alamat rangkaian LAN C?

A: 3B: 18C: 4D: 10E: 22

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 140

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Songsang dan tambah satu

116 = 0111 0100

disongsangkan: 1000 1011

+1 → 1000 1100

Baca sebagai tanpa tanda

1000 1100₂ = 256 − 116 = 140

Jawapan

U = 140

2.Sistem nombor

Jawapan: R = 152

Bit demi bit

AND memberikan 1 hanya di mana kedua-dua bit ialah 1.

1101 1011

AND 1001 1100

= 1001 1000

Nilai hasil

1001 1000₂ = 152

Jawapan

R = 152

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: p → (q → r)

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Hukum

Eksportasi: (a ∧ b) → c ≡ a → (b → c). Kedua-duanya 0 hanya apabila a = 1, b = 1 dan c = 0.

(p ∧ q) → r ≡ p → (q → r)

Semak dengan jadual kebenaran

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 1, r = 0: 0 | 0 0 0 0

p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 0, r = 0: 1 | 1 1 1 0

p = 0, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 0 1

p = 0, q = 1, r = 0: 1 | 1 0 0 0

p = 0, q = 0, r = 1: 1 | 1 1 0 1

p = 0, q = 0, r = 0: 1 | 1 0 0 1

Jawapan

p → (q → r)

Lajur selepas palang ialah pilihan mengikut susunan yang ditunjukkan.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Alihkan penafian ke dalam

¬∀x (A(x) → ∃y R(x, y)) ≡ ∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

Jawapan

∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

Pilihan lain sama ada mengekalkan pengkuantiti tanpa perubahan, mengubah susunan pengkuantiti, atau menafikan formula dalam dengan salah.

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 4

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Kumpulkan 1

Setiap kumpulan ialah segi empat tepat 2ᵏ sel; sel tepi berjiran dengan sel pada tepi bertentangan.

BC′

B′CD′

Bentuk SOP minimum

F = BD + BC′ + B′CD′ + AD

N = 4

Jawapan

N = 4

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 1

Implikan perdana

Kumpulan terbesar yang boleh dibentuk daripada 1 dan X.

B′C′D′, BC′D, BCD′, A′C, AC′D′, A′BD, ABD′, ABC′

Implikan perdana penting

A′C

N = 1

Jawapan

N = 1

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 61

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Kongruen pertama

x = 5 + 8k

Kongruen kedua

5 + 8k ≡ 6 (mod 11) → 8k ≡ 1 (mod 11)

k ≡ 7·1 ≡ 7 (mod 11)

Keputusan

x = 5 + 8·7 = 61

x = 61

semakan: 61 mod 8 = 5, 61 mod 11 = 6

Jawapan

x = 61

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 7

Bahagi dengan gcd

gcd(10, 24) = 2

5x ≡ 11 (mod 12)

Selesaikan kongruen yang telah dipermudah

5⁻¹ ≡ 5 (mod 12) → x ≡ 7 (mod 12)

Penyelesaian modulo 24

x ∈ {7, 19}

Kira

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Jawapan

H = 360

14.Teori graf

Jawapan: d(D) = 20

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 12, C: 7

C (7): G: 14

B (12): D: 20

G (14): E: 23

D (20)

E (23): F: 28

F (28)

Laluan terpendek

A → B → D

Panjang awalan

255.255.255.252 = /30

Hos boleh guna

2² − 2 = 2

Jawapan

H = 2

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 80

VLSM: setiap LAN mendapat subnet terkecil dengan 2ʰ − 2 ≥ bilangan hosnya, iaitu awalan 32 − h. Memperuntukkan subnet terbesar dahulu memastikan setiap blok sejajar pada gandaan saiznya sendiri, maka alamat rangkaian diperoleh dengan menambah saiz blok.

Saiz blok bagi setiap LAN

E: 22 hos → 2⁵ = 32 (/27)

B: 18 hos → 2⁵ = 32 (/27)

D: 10 hos → 2⁴ = 16 (/28)

C: 4 hos → 2³ = 8 (/29)

A: 3 hos → 2³ = 8 (/29)

Peruntukan, yang terbesar dahulu

E: .0 – .31

B: .32 – .63

D: .64 – .79

C: .80 – .87

A: .88 – .95

Jawapan

x = 80

LAN C: 192.168.212.80/29.

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals