Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tetapkan bit supaya ia menyimpan −64 dalam pelengkap dua 8-bit. Dibaca sebagai nombor tanpa tanda, apakah nilai corak U?

N = −648 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Satu imej tanpa mampatan berukuran 640 × 480 piksel dengan 8 bit setiap piksel. Berapakah memori M yang diambilnya, dalam KiB (1 KiB = 1024 bait)?

640 × 480 px8 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Formula manakah yang setara secara logik dengan q → p? Klik formula itu.

q → p

1q ∨ ¬p
2¬q ∨ p
3p → q
4¬q → ¬p

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Pernyataan manakah yang setara dengan ¬∀x ∃y R(x, y), dengan penafian dialihkan sepenuhnya ke dalam? Klik pernyataan itu.

¬∀x ∃y R(x, y)

1∃x ∀y ¬R(x, y)
2∀x ∀y ¬R(x, y)
3∀x ∃y ¬R(x, y)
4∃y ∀x ¬R(x, y)

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Multipleks 4-ke-1 mempunyai input pilih S₁ = A dan S₀ = B, dan input datanya diikat kepada I₀ = 1, I₁ = C, I₂ = C′, I₃ = C. Bagi berapa daripada 8 gabungan A, B dan C output F = 1? Cari N.

I₀ = 1I₁ = CI₂ = C′I₃ = C

N =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Pembilang gelang 4-bit Q₃Q₂Q₁Q₀ bermula pada 1010. Pada setiap pinggir jam bit beranjak satu tempat ke kanan (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀) dan Q₃ menerima Q₀. Beri keadaan Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ sebagai nombor perpuluhan selepas 11 pinggir jam.

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 101011

Q =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari integer positif terkecil x dengan x ≡ 2 (mod 4) dan x ≡ 0 (mod 13).

x ≡ 2 (mod 4)x ≡ 0 (mod 13)

x =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Selesaikan 21x ≡ 28 (mod 35). Beri penyelesaian positif terkecil x.

21x ≡ 28 (mod 35)

x =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Dalam masalah pemilihan aktiviti, peraturan tamak manakah yang sentiasa memberikan bilangan maksimum aktiviti yang tidak bertindih?

APilih aktiviti terpendek dahulu
BPilih aktiviti yang tamat paling awal, kemudian ulang dengan yang serasi
CPilih aktiviti dengan pertindihan paling sedikit dahulu, kemudian ulang dengan yang serasi
DPilih aktiviti yang bermula paling awal

10.Algoritma & kerumitanSukar

Apakah perbezaan antara masalah yang tidak boleh diputuskan dengan masalah yang tidak boleh dikendalikan (intractable)?

AMasalah tak boleh diputuskan berada dalam NP, manakala masalah tak boleh dikendalikan berada dalam P
BKedua-duanya bermaksud masalah itu tidak mempunyai algoritma sama sekali
CMasalah tak boleh diputuskan tiada algoritma untuk semua input; masalah tak boleh dikendalikan ada algoritma, tetapi terlalu perlahan
DMasalah tak boleh dikendalikan tidak dapat diselesaikan oleh sebarang algoritma, manakala yang tak boleh diputuskan hanya memerlukan masa eksponen

11.Struktur dataSederhana

Apakah kos menyisip elemen di tengah tatasusunan dengan n elemen?

AO(n²), kerana setiap elemen bergerak n kali
BO(1), kerana indeks diketahui
CO(n), kerana elemen kemudian mesti dianjak
DO(log n), kerana carian binari

12.Struktur dataSukar

Bagi setiap elemen tatasusunan anda mahu elemen lebih besar seterusnya di sebelah kanannya, dalam jumlah masa O(n). Struktur manakah yang membantu?

ABaris gilir yang menyimpan setiap pasangan elemen
BTindanan yang menyimpan elemen yang menunggu jawapannya
CPokok carian binari yang dibina semula bagi setiap elemen
DJadual cincang semua elemen

13.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 9 bucu dan 17 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 9|E| = 17

k =

14.Teori grafSukar

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F

d(F) =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Pandangan (view) dalam SQL ialah:

ASkrin dalam klien pangkalan data untuk menyemak imbas jadual
BJenis indeks
CSalinan jadual pada cakera
DPertanyaan tersimpan yang berfungsi seperti jadual maya

16.Pangkalan data & SQLSukar

Transaksi T1 mengunci baris A dan menunggu baris B, manakala T2 mengunci baris B dan menunggu baris A. Apakah yang dilakukan oleh DBMS biasa?

AMengesan kebuntuan (deadlock) dan membatalkan satu transaksi sebagai mangsa
BMengkomit kedua-dua transaksi serentak
CMembiarkan kedua-dua transaksi menunggu sehingga salah satu daripadanya commit dengan normal
DMenggabungkan dua transaksi menjadi satu

17.Rangkaian komputerSederhana

Mengapakah Wi-Fi menggunakan pengelakan perlanggaran (CSMA/CA) dan bukannya pengesanan perlanggaran?

AStesen wayarles tidak dapat mengesan perlanggaran dengan boleh dipercayai semasa menghantar
BIsyarat radio tidak pernah berlanggar
CWi-Fi hanya membenarkan satu peranti bagi setiap rangkaian
DPengesanan perlanggaran hanya berfungsi pada kabel gentian, bukan pada saluran radio wayarles yang dikongsi

18.Rangkaian komputerSukar

Kunci persendirian pelayan dicuri setahun dari sekarang. Sifat TLS manakah yang memastikan sesi yang direkodkan hari ini selamat?

AMemampatkan data sebelum penyulitan
BMenghantar sijil dua kali
CMenggunakan nama domain yang lebih panjang
DKerahsiaan hadapan (forward secrecy) daripada pertukaran kunci Diffie-Hellman efemeral

19.Subnet IPv4Sederhana

Satu subnet menggunakan topeng 255.255.252.0. Berapakah bilangan alamat hos H yang boleh digunakan?

255.255.252.0

H =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.58.4/29. Apakah nombor terakhir (oktet keempat) x bagi alamat siaran subnetnya?

10.20.58.4/29

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 192

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Songsang dan tambah satu

64 = 0100 0000

disongsangkan: 1011 1111

+1 → 1100 0000

Baca sebagai tanpa tanda

1100 0000₂ = 256 − 64 = 192

Jawapan

U = 192

2.Sistem nombor

Jawapan: M = 300 KiB

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Bit dan bait

640·480·8 = 2457600 bit = 307200 B

Tukar kepada KiB

307200/1024 = 300 KiB

Jawapan

M = 300 KiB

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ¬q ∨ p

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Hukum

a → b ialah 0 hanya apabila a = 1 dan b = 0, maka ia sama dengan ¬a ∨ b.

q → p ≡ ¬q ∨ p

Semak dengan jadual kebenaran

p = 1, q = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 0: 1 | 0 1 0 0

p = 0, q = 1: 0 | 1 0 1 1

p = 0, q = 0: 1 | 1 1 1 1

Jawapan

¬q ∨ p

Lajur selepas palang ialah pilihan mengikut susunan yang ditunjukkan.

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: ∃x ∀y ¬R(x, y)

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Alihkan penafian ke dalam

¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)

Jawapan

∃x ∀y ¬R(x, y)

Pilihan lain sama ada mengekalkan pengkuantiti tanpa perubahan, mengubah susunan pengkuantiti, atau menafikan formula dalam dengan salah.

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 5

Multipleks: multipleks 2ⁿ-ke-1 menyalurkan satu input datanya ke output; talian pilih, dibaca sebagai nombor perduaan, menentukan yang mana satu. Untuk MUX 4-ke-1 dengan pilih S₁S₀ = AB, F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. Mengikat input data kepada 0, 1, C atau C′ membolehkan MUX menghasilkan sebarang fungsi bagi A, B dan C, yang merupakan cara lazim untuk membina logik dengan satu cip.

Ungkapan output

F = A′B′ + A′BC + AB′C′ + ABC

Baris dengan F = 1

ABC = 000, 001, 011, 100, 111

N = 5

Jawapan

N = 5

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: Q = 5

Flip-flop dan pembilang: flip-flop hanya berubah pada pinggir jam yang aktif. D menyalin inputnya (Q⁺ = D); T bertukar keadaan apabila T = 1; JK kekal untuk 00, set semula untuk 01, set untuk 10 dan bertukar keadaan untuk 11. Pembilang perduaan n-bit mempunyai 2ⁿ keadaan dan mengira modulo 2ⁿ; pembilang mod-N mengira 0, 1, …, N − 1 dan kembali ke 0, dan memerlukan flip-flop sebanyak n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N. Setiap peringkat pembilang riak membahagi dua frekuensi, maka output terakhir pembilang mod-N berjalan pada f_clk/N. Pembilang Johnson dengan n flip-flop mempunyai 2n keadaan, pembilang gelang n.

Keadaan selepas setiap pinggir

1010 → 0101 → 1010 → 0101 → 1010 → 0101 → 1010 → 0101 → 1010 → 0101 → 1010 → 0101

Nilai perpuluhan

0101₂ = 5

Jawapan

Q = 5

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 26

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Kongruen pertama

x = 2 + 4k

Kongruen kedua

2 + 4k ≡ 0 (mod 13) → 4k ≡ 11 (mod 13)

k ≡ 10·11 ≡ 6 (mod 13)

Keputusan

x = 2 + 4·6 = 26

x = 26

semakan: 26 mod 4 = 2, 26 mod 13 = 0

Jawapan

x = 26

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 3

Bahagi dengan gcd

gcd(21, 35) = 7

3x ≡ 4 (mod 5)

Selesaikan kongruen yang telah dipermudah

3⁻¹ ≡ 2 (mod 5) → x ≡ 3 (mod 5)

Penyelesaian modulo 35

x ∈ {3, 8, 13, 18, 23, 28, 33}

Sisi pokok rentang

9 − 1 = 8

Sisi untuk dibuang

k = 17 − 8 = 9

Jawapan

k = 9

14.Teori graf

Jawapan: d(F) = 22

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 7, C: 11

B (7): C: 9, D: 15

C (9): E: 19, G: 16

D (15): F: 22

G (16)

E (19)

F (22)

Laluan terpendek

A → B → D → F

Panjang awalan

255.255.252.0 = /22

Hos boleh guna

2¹⁰ − 2 = 1022

Jawapan

H = 1022

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 7

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Saiz blok

2³ = 8

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊4/8⌋·8 = 0

siaran: 0 + 8 − 1 = 7

hos boleh guna: 1 … 6

Jawapan

x = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals