Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tetapkan bit supaya ia menyimpan −58 dalam pelengkap dua 8-bit. Dibaca sebagai nombor tanpa tanda, apakah nilai corak U?

N = −588 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Tetapkan bit kepada hasil 8-bit bagi 0011 1100 OR 1001 1011. Apakah nilai hasil R dalam perpuluhan?

0011 1100OR1001 1011

R =

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Adakah ((r → q) ∧ q) → r tautologi, percanggahan atau kontingensi? Klik jawapan anda.

((r → q) ∧ q) → r

1tautologi
2percanggahan
3kontingensi

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Hujah dengan premis p → r; ¬p dan kesimpulan ¬r adalah tidak sah. Klik baris jadual kebenaran yang menjadi contoh penyangkal.

p → r¬p∴ ¬r

1p = 1, r = 1
2p = 1, r = 0
3p = 0, r = 1
4p = 0, r = 0

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Gunakan peta Karnaugh untuk mencari bentuk hasil tambah hasil darab (SOP) minimum bagi F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 5, 11, 14, 15). Berapa banyak literal L yang terkandung dalamnya secara keseluruhan (pemboleh ubah berperdana dikira satu literal)?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 5, 11, 14, 15)

L =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Cari bentuk SOP minimum bagi F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 11, 12, 14) + d(3, 4, 6, 7, 8, 9, 15), dengan d menandakan keadaan tidak peduli. Berapa banyak sebutan hasil darab N yang ada padanya?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 11, 12, 14) + d(3, 4, 6, 7, 8, 9, 15)

N =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari songsangan 12 modulo 17: nombor x dengan 0 < x < 17 dan 12·x ≡ 1 (mod 17).

a = 12n = 17

12⁻¹ mod 17 =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Kunci RSA menggunakan nombor perdana p = 11 dan q = 31 serta eksponen awam e = 7. Cari eksponen persendirian d (0 < d < φ(n)).

p = 11q = 31e = 7

d =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah kerumitan masa bagi: for i = 1 to n: for j = 1 to i: lakukan kerja O(1)?

AO(n²)
BO(n log n)
CO(n³)
DO(n)

10.Algoritma & kerumitanSukar

Mengapakah carian binari tidak memberikan masa O(log n) pada senarai berpaut tunggal?

ASenarai berpaut tidak boleh disusun
BSampai ke elemen tengah mengambil O(n) langkah, kerana tiada akses indeks langsung
CPerbandingan pada nod senarai berpaut lebih perlahan
DCarian binari memerlukan memori dua kali ganda

11.Struktur dataSederhana

Mengapakah menyusuri tatasusunan selalunya jauh lebih pantas dalam praktik berbanding menyusuri senarai berpaut yang sama panjang?

ATraversal tatasusunan O(1) secara keseluruhan manakala traversal senarai berpaut O(n)
BTatasusunan menggunakan lebih sedikit arahan untuk membandingkan nilai
CElemen tatasusunan bersebelahan, jadi ia menggunakan cache CPU dengan baik
DSenarai berpaut sentiasa menyimpan elemen pada cakera

12.Struktur dataSukar

Menyisip kunci ke dalam pokok AVL menjadikan subpokok kiri sesuatu nod terlalu tinggi, dan kunci baharu masuk ke subpokok kiri anak kirinya (kes kiri-kiri). Pembetulan manakah yang digunakan?

ASatu putaran kanan tunggal pada nod yang tidak seimbang
BPutaran kiri pada anak, kemudian putaran kanan pada nod
CSatu putaran kiri tunggal pada nod yang tidak seimbang
DMewarnakan semula nod dan anaknya

13.Teori grafSederhana

Sebuah pokok mempunyai 2 bucu berdarjah 4, 4 bucu berdarjah 2, dan semua bucu lainnya ialah daun (berdarjah 1). Berapa banyak daun L yang ada padanya?

2 × deg 44 × deg 2

L =

14.Teori grafSukar

Cari jumlah berat W pokok rentang minimum bagi graf berpemberat itu.

|V| = 7|E| = 9

W =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Apakah yang dipulangkan oleh SELECT SUM(amount) FROM orders apabila klausa WHERE tidak sepadan dengan sebarang baris?

ANULL
BRalat
CRentetan kosong
D0

16.Pangkalan data & SQLSukar

Aras pengasingan manakah yang mencegah bacaan kotor tetapi masih membenarkan bacaan tidak boleh ulang?

ARepeatable read
BSerializable
CRead committed
DRead uncommitted

17.Rangkaian komputerSederhana

HTTP tidak berkeadaan (stateless). Bagaimanakah laman web lazimnya mengekalkan pengguna log masuk merentasi permintaan?

ADengan kuki yang menyimpan pengecam sesi atau token
BDengan memberikan setiap pengguna alamat IP tetap
CDengan menyimpan kata laluan dalam URL
DDengan mengekalkan sambungan TCP terbuka selama berhari-hari

18.Rangkaian komputerSukar

Mengapakah IPv6 tidak memerlukan NAT untuk menangani kekurangan alamat?

AIPv6 hanya berfungsi pada rangkaian setempat, jadi alamat tidak perlu dikongsi secara global
BIPv6 menyulitkan semua alamat
CRuang alamat 128 bitnya cukup besar untuk memberikan setiap peranti alamat global
DIPv6 tidak menggunakan alamat

19.Subnet IPv4Sederhana

Rangkaian 192.168.10.0/24 mesti dibahagikan kepada sekurang-kurangnya 5 subnet yang sama saiz. Jika anda meminjam bit sesedikit mungkin, berapakah hos boleh guna H bagi setiap subnet?

192.168.10.0/245 subnets

H =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.175.93/27. Apakah oktet keempat x bagi alamat rangkaiannya?

10.20.175.93/27

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 198

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Songsang dan tambah satu

58 = 0011 1010

disongsangkan: 1100 0101

+1 → 1100 0110

Baca sebagai tanpa tanda

1100 0110₂ = 256 − 58 = 198

Jawapan

U = 198

2.Sistem nombor

Jawapan: R = 191

Bit demi bit

OR memberikan 1 di mana sekurang-kurangnya satu bit ialah 1.

0011 1100

OR 1001 1011

= 1011 1111

Nilai hasil

1011 1111₂ = 191

Jawapan

R = 191

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: kontingensi

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Jadual kebenaran baris demi baris

q = 1, r = 1: r → q = 1, (r → q) ∧ q = 1, ((r → q) ∧ q) → r = 1

q = 1, r = 0: r → q = 1, (r → q) ∧ q = 1, ((r → q) ∧ q) → r = 0

q = 0, r = 1: r → q = 0, (r → q) ∧ q = 0, ((r → q) ∧ q) → r = 1

q = 0, r = 0: r → q = 1, (r → q) ∧ q = 0, ((r → q) ∧ q) → r = 1

Kelaskan

((r → q) ∧ q) → r: 1, 0, 1, 1

1 dalam 3 daripada 4 baris, 0 dalam yang lain: kontingensi.

Jawapan

kontingensi

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: p = 0, r = 1

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Premis dan kesimpulan baris demi baris

p = 1, r = 1: 1 0 | 0

p = 1, r = 0: 0 0 | 1

p = 0, r = 1: 1 1 | 0

p = 0, r = 0: 1 1 | 1

Contoh penyangkal

p = 0, r = 1

Jawapan

p = 0, r = 1

Hujah dengan bentuk ini kelihatan seperti peraturan yang sah, tetapi satu baris sudah memadai untuk menunjukkan bahawa ia tidak sah.

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: L = 12

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Kumpulkan 1

Setiap kumpulan ialah segi empat tepat 2ᵏ sel; sel tepi berjiran dengan sel pada tepi bertentangan.

A′C′D

ACD

A′BC′

ABC

Bentuk SOP minimum

F = A′C′D + ACD + A′BC′ + ABC

L = 12

Jawapan

L = 12

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 3

Implikan perdana

Kumpulan terbesar yang boleh dibentuk daripada 1 dan X.

CD, B′D, BD′, BC, A′C, AC′D′

Liputan minimum

F = B′D + BD′ + A′C

N = 3

Jawapan

N = 3

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: 12⁻¹ mod 17 = 10

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Algoritma Euclid lanjutan

Setiap baki r ditulis sebagai r ≡ t·12 (mod 17).

r = 17, t = 0

r = 12, q = 1, t = 1

r = 5, q = 2, t = −1

r = 2, q = 2, t = 3

r = 1, q = 2, t = −7

Songsangan

1 ≡ −7·12 (mod 17)

x = 10

semakan: 12·10 = 120 = 7·17 + 1

Jawapan

12⁻¹ mod 17 = 10

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: d = 43

Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.

Modulus dan totien

n = 11·31 = 341

φ(n) = 10·30 = 300

Algoritma Euclid lanjutan

r = 300, t = 0

r = 7, q = 42, t = 1

r = 6, q = 1, t = −42

r = 1, q = 6, t = 43

Eksponen persendirian

d = 43

Lema jabat tangan untuk pokok

L + 16 = 2(L + 6) − 2

L = 6

Jawapan

L = 6

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) ke atas bucu berdarjah d ≥ 3.

14.Teori graf

Jawapan: W = 55

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

GE (2): ambil

DF (5): ambil

GD (7): ambil

DE (8): langkau, menutup kitaran

C · Ruang alamat 128 bitnya cukup besar untuk memberikan setiap peranti alamat global

19.Subnet IPv4

Jawapan: H = 30

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Bit untuk dipinjam

2³ = 8 ≥ 5 → b = 3, /27

Hos bagi setiap subnet

2⁵ − 2 = 30

Jawapan

H = 30

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 64

Saiz blok

2⁵ = 32

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊93/32⌋·32 = 64

siaran: 64 + 32 − 1 = 95

hos boleh guna: 65 … 94

Jawapan

x = 64

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals