Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Corak 8-bit 1010 1110 menyimpan integer bertanda dalam pelengkap dua. Apakah nilainya N dalam perpuluhan?

1010 11108 bit

N =

2.Sistem nomborSukar

Tetapkan bit kepada hasil 8-bit bagi 0110 1010 OR 0110 0010. Apakah nilai hasil R dalam perpuluhan?

0110 1010OR0110 0010

R =

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Dalam berapa daripada 8 baris jadual kebenarannya ((a ∨ c) ↔ b) ↔ (c ∧ a) benar? Panggil nombor ini N.

((a ∨ c) ↔ b) ↔ (c ∧ a)

N =

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Berapa banyak daripada 16 baris jadual kebenaran menjadikan ¬((p ∧ (¬s ↔ q)) ∧ ¬(¬q → (r ∧ s))) benar? Panggil nombor ini N.

¬((p ∧ (¬s ↔ q)) ∧ ¬(¬q → (r ∧ s)))

N =

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Gunakan peta Karnaugh untuk mencari bentuk hasil darab hasil tambah (POS) minimum bagi F(A, B, C, D) = Σm(0, 8, 11, 15). Berapa banyak sebutan hasil tambah (faktor) N yang ada padanya?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 8, 11, 15)

N =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

pembilang mod-12 segerak mengira 0, 1, …, 11 dan kemudian kembali ke 0. Ia bermula pada 4. Apakah kiraan Q (dalam perpuluhan) yang ditunjukkan selepas 33 denyut jam?

Q₀ = 433N = 12

Q =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari integer positif terkecil x dengan x ≡ 4 (mod 8) dan x ≡ 2 (mod 9).

x ≡ 4 (mod 8)x ≡ 2 (mod 9)

x =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Berapa banyak penyelesaian N yang ada pada 12x ≡ 16 (mod 26) dalam {0, 1, …, 25}?

12x ≡ 16 (mod 26)

N =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah kerumitan masa bagi: for i = 1 to n: for j = 1 to i: lakukan kerja O(1)?

AO(n)
BO(n²)
CO(n³)
DO(n log n)

10.Algoritma & kerumitanSukar

Mengapakah carian purata dalam jadual cincang ialah O(1) tetapi kes terburuk O(n)?

ABanyak kunci mungkin berlanggar ke dalam baldi yang sama
BFungsi cincang adalah perlahan
CTatasusunan mempunyai akses O(n)
DKunci mesti disusun dahulu

11.Struktur dataSederhana

Rangkaian jalan raya mempunyai 100,000 persimpangan, masing-masing disambungkan kepada kira-kira 4 yang lain. Perwakilan manakah yang paling sesuai?

AMatriks bersebelahan
BSatu tatasusunan bucu tersusun
CTimbunan binari sisi
DSenarai bersebelahan

12.Struktur dataSukar

Berapa lamakah masa untuk mencari kunci sembarangan dalam timbunan min binari dengan n elemen?

AO(1)
BO(log log n)
CO(n)
DO(log n)

13.Teori grafSederhana

Sebuah pokok mempunyai 3 bucu berdarjah 4, 3 bucu berdarjah 5, dan semua bucu lainnya ialah daun (berdarjah 1). Berapa banyak daun L yang ada padanya?

3 × deg 43 × deg 5

L =

14.Teori grafSukar

Berapa banyak jalan sepanjang 3 dari B ke A? Jalan boleh mengulang bucu dan sisi. Panggil nombor ini N.

M = matriks kejirananL = 3

N =

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Apakah yang disediakan oleh ungkapan jadual lazim (common table expression, WITH name AS (...))?

AIndeks pada lajur
BJadual kekal yang kekal disimpan pada cakera sehingga digugurkan
CHasil sementara bernama yang boleh digunakan dalam satu penyataan
DPengguna pangkalan data baharu

16.Pangkalan data & SQLSukar

Dua transaksi kedua-duanya membaca stock = 10, masing-masing menolak 1 dan menulis hasilnya, memberi 9 dan bukan 8. Anomali manakah ini?

AKemas kini hilang (lost update)
BBacaan kotor
CBacaan hantu
DAnomali pemadaman

17.Rangkaian komputerSederhana

Hos manakah yang berada dalam subnet /16 yang sama dengan 10.1.2.3?

A10.1.200.5
B10.2.2.3
C11.1.2.3
D10.0.2.3

18.Rangkaian komputerSukar

Seorang pengguna boleh melakukan ping ke 8.8.8.8 tetapi tidak dapat membuka sebarang laman web mengikut nama. Di manakah masalahnya yang paling berkemungkinan?

APemacu kad rangkaian
BGet laluan lalai
CPenyelesaian nama (DNS)
DKabel fizikal

19.Subnet IPv4Sederhana

Satu subnet menggunakan topeng 255.255.255.224. Berapakah bilangan alamat hos H yang boleh digunakan?

255.255.255.224

H =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah hos mempunyai alamat 10.20.115.227/25. Apakah oktet keempat x bagi alamat hos boleh guna yang terakhir dalam subnetnya?

10.20.115.227/25

x =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: N = −82

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Tambah nilai kedudukan

Bit lain mengekalkan nilai positif biasanya.

−128 + 32 + 8 + 4 + 2 = −82

Jawapan

N = −82

2.Sistem nombor

Jawapan: R = 106

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Bit demi bit

OR memberikan 1 di mana sekurang-kurangnya satu bit ialah 1.

0110 1010

OR 0110 0010

= 0110 1010

Nilai hasil

0110 1010₂ = 106

Jawapan

R = 106

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: N = 4

Jadual kebenaran: formula dengan n pemboleh ubah berbeza mempunyai 2ⁿ baris, satu untuk setiap gabungan nilai kebenaran (1 = benar, 0 = palsu). Bekerja dari dalam ke luar dan beri setiap subformula lajurnya sendiri. ¬a menyongsangkan nilai; a ∧ b ialah 1 hanya apabila kedua-duanya 1; a ∨ b ialah 0 hanya apabila kedua-duanya 0; a → b ialah 0 hanya apabila a = 1 dan b = 0; a ↔ b ialah 1 apabila kedua-dua belah sama.

Jadual kebenaran baris demi baris

a = 1, b = 1, c = 1: a ∨ c = 1, (a ∨ c) ↔ b = 1, c ∧ a = 1, ((a ∨ c) ↔ b) ↔ (c ∧ a) = 1

a = 1, b = 1, c = 0: a ∨ c = 1, (a ∨ c) ↔ b = 1, c ∧ a = 0, ((a ∨ c) ↔ b) ↔ (c ∧ a) = 0

a = 1, b = 0, c = 1: a ∨ c = 1, (a ∨ c) ↔ b = 0, c ∧ a = 1, ((a ∨ c) ↔ b) ↔ (c ∧ a) = 0

a = 1, b = 0, c = 0: a ∨ c = 1, (a ∨ c) ↔ b = 0, c ∧ a = 0, ((a ∨ c) ↔ b) ↔ (c ∧ a) = 1

a = 0, b = 1, c = 1: a ∨ c = 1, (a ∨ c) ↔ b = 1, c ∧ a = 0, ((a ∨ c) ↔ b) ↔ (c ∧ a) = 0

a = 0, b = 1, c = 0: a ∨ c = 0, (a ∨ c) ↔ b = 0, c ∧ a = 0, ((a ∨ c) ↔ b) ↔ (c ∧ a) = 1

a = 0, b = 0, c = 1: a ∨ c = 1, (a ∨ c) ↔ b = 0, c ∧ a = 0, ((a ∨ c) ↔ b) ↔ (c ∧ a) = 1

a = 0, b = 0, c = 0: a ∨ c = 0, (a ∨ c) ↔ b = 1, c ∧ a = 0, ((a ∨ c) ↔ b) ↔ (c ∧ a) = 0

Kira baris dengan nilai 1

((a ∨ c) ↔ b) ↔ (c ∧ a): 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0

N = 4

Jawapan

N = 4

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: N = 15

Lajur

¬s; ¬s ↔ q; p ∧ (¬s ↔ q); ¬q; r ∧ s; ¬q → (r ∧ s); ¬(¬q → (r ∧ s)); (p ∧ (¬s ↔ q)) ∧ ¬(¬q → (r ∧ s)); ¬((p ∧ (¬s ↔ q)) ∧ ¬(¬q → (r ∧ s)))

Pecahkan pada p

p = 1: 7

p = 0: 8

N = 7 + 8 = 15

Jawapan

N = 15

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 4

Peta Karnaugh: sel disusun dalam kod Gray (00, 01, 11, 10), maka sel berjiran, termasuk yang merentasi tepi, berbeza pada tepat satu pemboleh ubah. Kumpulkan 1 dalam segi empat tepat berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, sebesar mungkin dan sesedikit mungkin, sehingga setiap 1 diliputi. Setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab: pemboleh ubah yang kekal malar di dalamnya. Kumpulan 2ᵏ sel kehilangan k pemboleh ubah. Tidak peduli (X) boleh digunakan untuk membesarkan kumpulan tetapi tidak perlu diliputi. Mengumpulkan 0 pula memberi bentuk POS minimum.

Kumpulkan 0

Setiap kumpulan ialah segi empat tepat 2ᵏ sel; sel tepi berjiran dengan sel pada tepi bertentangan.

(C + D′)

(C′ + D)

(B′ + D)

(A + D′)

Bentuk POS minimum

F = (C + D′)(C′ + D)(B′ + D)(A + D′)

N = 4

Jawapan

N = 4

Terdapat pengumpulan lain yang sama saiz; ia mempunyai bilangan sebutan dan literal yang sama.

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: Q = 1

Flip-flop dan pembilang: flip-flop hanya berubah pada pinggir jam yang aktif. D menyalin inputnya (Q⁺ = D); T bertukar keadaan apabila T = 1; JK kekal untuk 00, set semula untuk 01, set untuk 10 dan bertukar keadaan untuk 11. Pembilang perduaan n-bit mempunyai 2ⁿ keadaan dan mengira modulo 2ⁿ; pembilang mod-N mengira 0, 1, …, N − 1 dan kembali ke 0, dan memerlukan flip-flop sebanyak n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N. Setiap peringkat pembilang riak membahagi dua frekuensi, maka output terakhir pembilang mod-N berjalan pada f_clk/N. Pembilang Johnson dengan n flip-flop mempunyai 2n keadaan, pembilang gelang n.

Kitaran penuh

Setiap 12 denyut membawa pembilang kembali ke keadaan yang sama.

33 = 2·12 + 9

Kiraan selepas denyut yang tinggal

Q = (4 + 9) mod 12 = 1

Q = 0001₂

Jawapan

Q = 1

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 20

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Kongruen pertama

x = 4 + 8k

Kongruen kedua

4 + 8k ≡ 2 (mod 9) → 8k ≡ 7 (mod 9)

k ≡ 8·7 ≡ 2 (mod 9)

Keputusan

x = 4 + 8·2 = 20

x = 20

semakan: 20 mod 8 = 4, 20 mod 9 = 2

Jawapan

x = 20

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: N = 2

Bahagi dengan gcd

gcd(12, 26) = 2

6x ≡ 8 (mod 13)

Selesaikan kongruen yang telah dipermudah

6⁻¹ ≡ 11 (mod 13) → x ≡ 10 (mod 13)

Penyelesaian modulo 26

x ∈ {10, 23}

Lema jabat tangan untuk pokok

L + 27 = 2(L + 6) − 2

L = 17

Jawapan

L = 17

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) ke atas bucu berdarjah d ≥ 3.

14.Teori graf

Jawapan: N = 6

Darjah: darjah sesuatu bucu ialah bilangan sisi yang bertemu padanya. Setiap sisi mempunyai dua hujung, maka jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi: Σ deg(v) = 2|E| (lema jabat tangan). Bilangan bucu berdarjah ganjil oleh itu genap. K_n mempunyai n(n − 1)/2 sisi, graf k-sekata pada n bucu mempunyai nk/2, dan pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Matriks kejiranan

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 1

C · Penyelesaian nama (DNS)

19.Subnet IPv4

Jawapan: H = 30

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

Panjang awalan

255.255.255.224 = /27

Hos boleh guna

2⁵ − 2 = 30

Jawapan

H = 30

20.Subnet IPv4

Jawapan: x = 254

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Saiz blok

2⁷ = 128

Subnet hos ini

rangkaian: ⌊227/128⌋·128 = 128

siaran: 128 + 128 − 1 = 255

hos boleh guna: 129 … 254

Jawapan

x = 254

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals