Asas Sains Komputer: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Sistem nombor

Nilai kedudukan: perduaan 2^k, oktal 8^k, heks 16^k
Kepada perpuluhan: Σ d_k·b^k
Daripada perpuluhan: bahagi dengan asas, baca baki dari bawah ke atas
Heks ↔ perduaan: satu digit heks = 4 bit
Pelengkap dua: songsangkan bit dan tambah 1

Logik proposisi & pembuktian

Baris jadual kebenaran: 2ⁿ
Implikasi: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikasi dinafikan: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Dwisyarat: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Hukum agihan: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Pengkuantiti dinafikan: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Kaedah

Kira bilangan pemboleh ubah yang berbeza: jadual kebenaran mempunyai 2ⁿ baris, bermula dengan kesemuanya 1.
Beri setiap subformula lajurnya sendiri dan isi lajur-lajur itu dari dalam ke luar.
Gunakan peraturan setiap penghubung: → hanya 0 bagi 1 → 0, ↔ ialah 1 apabila kedua-dua belah sepadan.
Untuk kesetaraan, bandingkan lajur akhir baris demi baris; untuk hujah, lihat hanya baris yang setiap premisnya 1.
Untuk menafikan pernyataan berpengkuantiti, alihkan ¬ ke dalam, tukar ∀ dan ∃, dan nafikan formula di dalamnya.

Logik digital: get, peta K & flip-flop

Get asas: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Peraturan Boolean: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Susunan peta Karnaugh: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Kumpulan 2ᵏ sel: kehilangan k pemboleh ubah
Multipleks 4-ke-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flip-flop: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Pembilang: n-bit: 2ⁿ keadaan; mod-N: n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Pembilang riak: f_max = 1/(n·t_pd)
Pembilang gelang dan Johnson: n dan 2n keadaan

Kaedah

Untuk litar, bekerja dari input ke output satu get pada satu masa dan tulis nilai pada setiap wayar, atau tulis ungkapannya dan isi jadual kebenaran.
Untuk pemudahan, letakkan 1 (dan tidak peduli sebagai X) ke dalam peta Karnaugh dengan baris dan lajur kod Gray: 00, 01, 11, 10.
Liputi 1 dengan kumpulan sesedikit dan sebesar mungkin yang berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, menyambung melepasi tepi; setiap kumpulan ialah satu sebutan hasil darab yang terdiri daripada pemboleh ubah yang kekal malar. Kumpulkan 0 untuk bentuk POS.
Untuk flip-flop dan pembilang, baca input pada setiap pinggir jam yang aktif, tulis keadaan selepas setiap pinggir, dan ingat bahawa pembilang n-bit berpusing semula selepas 2ⁿ keadaan.

Teori nombor & aritmetik modulo

Pembahagian dengan baki: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Gandaan sepunya terkecil: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Songsangan: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruen linear: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Fungsi totien Euler: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Kaedah

Kurangkan setiap nombor modulo n dahulu; baki terletak antara 0 dengan n − 1.
Untuk gcd, bahagi berulang kali dengan algoritma Euclid; baki bukan sifar yang terakhir ialah gcd.
Untuk songsangan, jalankan algoritma lanjutan dan simpan pekali a; tambah n jika ia negatif.
Selesaikan a·x ≡ b dengan mendarab dengan a⁻¹; gabungkan dua kongruen dengan menulis x = r₁ + m₁k.
Untuk kuasa, tulis eksponen dalam perduaan dan kuasa duakan berulang kali; dalam RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) dengan φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

Subnet IPv4

Hos bagi setiap subnet: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Saiz blok: 256 − (mask octet)
Alamat rangkaian: IP AND topeng
Alamat siaran: IP OR (NOT mask): semua bit hos ditetapkan kepada 1
Subnet daripada n bit yang dipinjam: 2ⁿ

2Soalan latihan

1.Sistem nomborSederhana

Tetapkan bit supaya ia menyimpan −12 dalam pelengkap dua 8-bit. Dibaca sebagai nombor tanpa tanda, apakah nilai corak U?

N = −128 bit

U =

2.Sistem nomborSukar

Satu imej tanpa mampatan berukuran 1280 × 720 piksel dengan 24 bit setiap piksel. Berapakah memori M yang diambilnya, dalam KiB (1 KiB = 1024 bait)?

1280 × 720 px24 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.Logik proposisi & pembuktianSederhana

Adakah ¬((p ∧ q) → p) tautologi, percanggahan atau kontingensi? Klik jawapan anda.

¬((p ∧ q) → p)

1tautologi
2percanggahan
3kontingensi

4.Logik proposisi & pembuktianSukar

Premis r → q; r diberikan. Kesimpulan manakah yang terhasil daripadanya? Klik kesimpulan itu.

r → qr

1¬r
2q
3r ∧ ¬q
4¬q

5.Logik digital: get, peta K & flip-flopSederhana

Permudahkan F = A′B′C′ + B′C + BC′ + AC′ kepada bentuk hasil tambah hasil darab minimum. Berapa banyak literal L yang terkandung dalam ungkapan yang dipermudah?

F = A′B′C′ + B′C + BC′ + AC′

L =

6.Logik digital: get, peta K & flip-flopSukar

Flip-flop JK dicetus pinggir positif bermula dengan Q = 0 dan menerima input yang ditunjukkan pada 7 pinggir jam menaik. Berapa kali N Q berubah keadaan?

Q₀ = 0JK

N =

7.Teori nombor & aritmetik moduloSederhana

Cari integer positif terkecil x dengan x ≡ 1 (mod 7) dan x ≡ 2 (mod 9).

x ≡ 1 (mod 7)x ≡ 2 (mod 9)

x =

8.Teori nombor & aritmetik moduloSukar

Kunci RSA menggunakan p = 19, q = 43 dan e = 23. Nyahsulit teks sulit c = 45: cari mesej m.

p = 19q = 43e = 23c = 45

m =

9.Algoritma & kerumitanSederhana

Kira-kira berapa banyak perbandingan yang diperlukan oleh carian binari dalam kes terburuk pada tatasusunan tersusun 1,000,000 elemen?

AKira-kira 20
BKira-kira 100
CKira-kira 1,000
DKira-kira 500,000

10.Algoritma & kerumitanSukar

Pernyataan manakah tentang memilih elemen terkecil ke-k dalam tatasusunan tidak tersusun yang betul?

APemilihan hanya mungkin dalam O(n²)
BPemilihan sentiasa memerlukan Ω(n log n) kerana ia memerlukan pengisihan
CQuickselect berjalan dalam O(n) dijangka, dan median-bagi-median menjamin O(n) kes terburuk
DQuickselect berjalan dalam O(log n) kes terburuk, kerana ia berekursi pada satu sebelah pangsi sahaja

11.Struktur dataSederhana

Berapa lamakah masa untuk menyemak sama ada sisi (u, v) wujud menggunakan matriks bersebelahan?

AO(1)
BO(E)
CO(V)
DO(log V)

12.Struktur dataSukar

Sifat manakah yang mesti dipenuhi oleh pokok merah-hitam?

ASetiap laluan dari sesuatu nod ke daun keturunannya mempunyai bilangan nod hitam yang sama
BSetiap nod mesti merah
CAkar mesti merah
DSetiap nod merah mesti mempunyai anak merah, jadi nod merah sentiasa membentuk rantaian tanpa putus hingga ke daun

13.Teori grafSederhana

Berapa banyak litar Hamilton H yang berbeza pada graf lengkap K₆? Litar yang hanya berbeza pada bucu permulaan atau arah dikira sama.

K₆

H =

14.Teori grafSukar

Algoritma Prim membina pokok rentang minimum bermula dari bucu C. Klik sisi yang ditambahnya sebagai sisi nombor 5.

mula: Ck = 5

1sisi AB
2sisi AC
3sisi BC
4sisi BD
5sisi CE
6sisi DE
7sisi DF
8sisi EF
9sisi BE

15.Pangkalan data & SQLSederhana

Apakah maksud "A" dalam ACID?

AAvailability
BAccuracy
CAggregation
DAtomicity (keatoman)

16.Pangkalan data & SQLSukar

Apakah yang dipulangkan oleh SELECT name, dept, AVG(salary) OVER (PARTITION BY dept) FROM emp?

ARalat kerana name tiada dalam GROUP BY
BSetiap baris pekerja bersama gaji purata jabatan mereka
CHanya pekerja yang berpendapatan melebihi purata jabatan mereka
DSatu baris bagi setiap jabatan dengan gaji puratanya

17.Rangkaian komputerSederhana

Topeng subnet manakah sepadan dengan /20?

A255.255.255.240
B255.255.240.0
C255.255.248.0
D255.255.224.0

18.Rangkaian komputerSukar

Hos dalam VLAN 10 dan VLAN 20 pada suis yang sama tidak dapat berkomunikasi. Apakah yang diperlukan?

AKabel yang lebih panjang antara hos
BPenghala atau suis lapisan 3 untuk menghalakan antara VLAN
CAlamat MAC yang sama pada kedua-dua hos
DHab yang disambungkan kepada kedua-dua VLAN

19.Subnet IPv4Sederhana

Sebuah jabatan memerlukan 711 alamat hos dalam satu subnet. Apakah panjang awalan terpanjang p (subnet terkecil) yang cukup besar?

711 hosts

p =

20.Subnet IPv4Sukar

Sebuah penghala mempunyai laluan ke rangkaian ini: 10.88.11.0/24, 10.88.12.0/24, 10.88.13.0/24. Berapakah panjang awalan terpanjang p bagi satu laluan ringkasan yang meliputi kesemuanya?

10.88.11.0/24 … 10.88.13.0/24

p =

3Larutan

1.Sistem nombor

Jawapan: U = 244

Menetapkan bit: setiap bit bernilai kuasa dua (128, 64, …, 1). Satu digit heks tepat empat bit, dan dalam pelengkap dua 8-bit bit paling kiri bernilai −128. Operasi bitwise bekerja pada setiap kedudukan bit secara berasingan.

Songsang dan tambah satu

12 = 0000 1100

disongsangkan: 1111 0011

+1 → 1111 0100

Baca sebagai tanpa tanda

1111 0100₂ = 256 − 12 = 244

Jawapan

U = 244

2.Sistem nombor

Jawapan: M = 2700 KiB

Sistem nombor kedudukan: setiap digit bernilai nilainya didarab kuasa asas. Dalam perduaan, kedudukan bernilai 1, 2, 4, 8, 16, …; dalam heksadesimal 1, 16, 256, …, dengan A–F mewakili 10–15. Dalam pelengkap dua 8-bit, bit paling kiri bernilai −128 dan bukannya +128, begitulah nombor negatif disimpan.

Bit dan bait

1280·720·24 = 22118400 bit = 2764800 B

Tukar kepada KiB

2764800/1024 = 2700 KiB

Jawapan

M = 2700 KiB

3.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: percanggahan

Kesetaraan logik: dua formula adalah setara (≡) apabila ia mempunyai nilai yang sama dalam setiap baris jadual kebenaran. Tautologi ialah 1 dalam setiap baris, percanggahan ialah 0 dalam setiap baris, dan kontingensi bukan kedua-duanya. Hukum yang berguna: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b dan ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapositif); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; dan hukum agihan, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Jadual kebenaran baris demi baris

p = 1, q = 1: p ∧ q = 1, (p ∧ q) → p = 1, ¬((p ∧ q) → p) = 0

p = 1, q = 0: p ∧ q = 0, (p ∧ q) → p = 1, ¬((p ∧ q) → p) = 0

p = 0, q = 1: p ∧ q = 0, (p ∧ q) → p = 1, ¬((p ∧ q) → p) = 0

p = 0, q = 0: p ∧ q = 0, (p ∧ q) → p = 1, ¬((p ∧ q) → p) = 0

Kelaskan

¬((p ∧ q) → p): 0, 0, 0, 0

0 dalam setiap baris: percanggahan.

Jawapan

percanggahan

4.Logik proposisi & pembuktian

Jawapan: q

Pengkuantiti dan hujah: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) dan ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Alihkan penafian ke dalam, tukar setiap pengkuantiti yang dilaluinya, dan nafikan formula di dalam dengan hukum proposisi, seperti ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Hujah adalah sah apabila kesimpulan ialah 1 dalam setiap baris yang semua premisnya 1. Satu baris dengan premis benar dan kesimpulan palsu ialah contoh penyangkal dan menunjukkan hujah itu tidak sah.

Baris dengan semua premis benar

q = 1, r = 1: ¬r = 0, q = 1, r ∧ ¬q = 0, ¬q = 0

Kesimpulan

q (modus ponens)

Jawapan

5.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: L = 2

Aljabar Boolean: peraturan yang memudahkan ungkapan ialah X + X′ = 1 dan X·X′ = 0, X + X = X, penyerapan X + X·Y = X, peraturan penggabungan X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y dan teorem konsensus XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Hukum De Morgan menukar (X·Y)′ kepada X′ + Y′ dan (X + Y)′ kepada X′·Y′. Peta Karnaugh menggunakan peraturan ini secara grafik: setiap kumpulan dua sel berjiran ialah satu penggunaan XY + XY′ = X.

Minterm ungkapan

A′B′C′ → m(0)

B′C → m(1, 5)

BC′ → m(2, 6)

AC′ → m(4, 6)

Kumpulkan dan baca

F = C′ + B′

Kira literal

L = 2

Jawapan

L = 2

6.Logik digital: get, peta K & flip-flop

Jawapan: N = 4

Flip-flop dan pembilang: flip-flop hanya berubah pada pinggir jam yang aktif. D menyalin inputnya (Q⁺ = D); T bertukar keadaan apabila T = 1; JK kekal untuk 00, set semula untuk 01, set untuk 10 dan bertukar keadaan untuk 11. Pembilang perduaan n-bit mempunyai 2ⁿ keadaan dan mengira modulo 2ⁿ; pembilang mod-N mengira 0, 1, …, N − 1 dan kembali ke 0, dan memerlukan flip-flop sebanyak n terkecil dengan 2ⁿ ≥ N. Setiap peringkat pembilang riak membahagi dua frekuensi, maka output terakhir pembilang mod-N berjalan pada f_clk/N. Pembilang Johnson dengan n flip-flop mempunyai 2n keadaan, pembilang gelang n.

Q selepas setiap pinggir

Flip-flop JK: 00 kekal, 01 set semula (Q = 0), 10 set (Q = 1), 11 bertukar keadaan.

1: J = 0, K = 0 → Q = 0

2: J = 0, K = 1 → Q = 0

3: J = 1, K = 0 → Q = 1

4: J = 1, K = 0 → Q = 1

5: J = 0, K = 1 → Q = 0

6: J = 1, K = 1 → Q = 1

7: J = 1, K = 1 → Q = 0

Kira perubahan

0 → 0 → 0 → 1 → 1 → 0 → 1 → 0

N = 4

Jawapan

N = 4

7.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: x = 29

Songsangan dan kongruen: a mempunyai songsangan modulo n tepat apabila gcd(a, n) = 1. Algoritma Euclid lanjutan menulis 1 = s·n + t·a, dan kemudian a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruen a·x ≡ b (mod n) dengan gcd(a, n) = 1 mempunyai penyelesaian x ≡ a⁻¹·b. Dua kongruen x ≡ r₁ (mod m₁) dan x ≡ r₂ (mod m₂) dengan modulus perdana relatif mempunyai satu penyelesaian modulo m₁·m₂ (teorem baki Cina). φ(n) Euler mengira nombor dari 1 hingga n yang perdana relatif dengan n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Kongruen pertama

x = 1 + 7k

Kongruen kedua

1 + 7k ≡ 2 (mod 9) → 7k ≡ 1 (mod 9)

k ≡ 4·1 ≡ 4 (mod 9)

Keputusan

x = 1 + 7·4 = 29

x = 29

semakan: 29 mod 7 = 1, 29 mod 9 = 2

Jawapan

x = 29

8.Teori nombor & aritmetik modulo

Jawapan: m = 543

Kuasa modular dan RSA: hitung aᵏ mod n dengan kuasa dua berulang: tulis k dalam perduaan, kuasa duakan, kurangkan selepas setiap langkah dan darabkan kuasa yang bitnya 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) untuk nombor perdana p yang tidak membahagi a, maka eksponen boleh dikurangkan modulo p − 1. RSA: pilih nombor perdana p dan q, n = p·q dan φ(n) = (p − 1)(q − 1); eksponen awam e perdana relatif dengan φ(n), dan eksponen persendirian ialah d = e⁻¹ mod φ(n). Sulitkan dengan c = mᵉ mod n dan nyahsulit dengan m = cᵈ mod n.

Eksponen persendirian

n = 817, φ(n) = 756

d = 23⁻¹ mod 756 = 263

Nyahsulit dengan kuasa dua berulang

263 = 256 + 4 + 2 + 1

45¹ ≡ 45 (mod 817)

45² ≡ 391 (mod 817)

45⁴ ≡ 102 (mod 817)

45⁸ ≡ 600 (mod 817)

45¹⁶ ≡ 520 (mod 817)

45³² ≡ 790 (mod 817)

45⁶⁴ ≡ 729 (mod 817)

45¹²⁸ ≡ 391 (mod 817)

45²⁵⁶ ≡ 102 (mod 817)

45²⁶³ ≡ 45·391·102·102 ≡ 543 (mod 817)

Mesej

m = 543

Kira

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Jawapan

H = 60

14.Teori graf

Jawapan: sisi DF

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Prim

1. CE (3)

2. BE (5)

3. AB (1)

4. DE (10)

5. DF (14)

VLAN diasingkan pada lapisan 2, maka trafik antara mereka mesti dihalakan, contohnya oleh penghala pada trunk ("router on a stick") atau suis lapisan 3.

Jawapan

B · Penghala atau suis lapisan 3 untuk menghalakan antara VLAN

19.Subnet IPv4

Jawapan: p = 22

Subnet IPv4: alamat mempunyai 32 bit. Awalan /p menyatakan berapa banyak bit permulaan yang mengenal pasti rangkaian; baki 32 − p bit menomborkan hos. Satu subnet mempunyai 2³²⁻ᵖ alamat, tetapi yang pertama (alamat rangkaian) dan yang terakhir (alamat siaran) tidak boleh diberikan kepada hos, jadi 2³²⁻ᵖ − 2 hos boleh dimuatkan. Pengecualian: /31 (pautan titik ke titik, RFC 3021) menggunakan kedua-dua 2 alamatnya untuk hos, dan /32 ialah satu alamat tunggal (satu hos atau loopback).

Bit hos yang diperlukan

2⁹ − 2 = 510 < 711

2¹⁰ − 2 = 1022 ≥ 711 → h = 10

Panjang awalan

p = 32 − 10 = 22

Jawapan

p = /22

20.Subnet IPv4

Jawapan: p = 21

Peringkasan laluan: laluan ringkasan a.b.c.0/p meliputi semua rangkaian yang p bit pertamanya sepadan. Tulis oktet yang berbeza bagi rangkaian pertama dan terakhir dalam binari; bilangan bit di hadapan yang sama, campur bit oktet sebelumnya, ialah awalan ringkasan terpanjang.

Bandingkan bit

11 = 00001011

13 = 00001101

bit di hadapan yang sama: 5

Panjang awalan

p = 16 + 5 = 21

Jawapan

p = /21

Laluan ringkasan: 10.88.8.0/21 (ia juga meliputi 5 rangkaian yang tiada dalam senarai).

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals