Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Hubungan jadi semula T(n) = 2T(n/2) + O(n) mempunyai penyelesaian:

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Apakah perbezaan antara masalah yang tidak boleh diputuskan dengan masalah yang tidak boleh dikendalikan (intractable)?

  1. AMasalah tak boleh diputuskan tiada algoritma untuk semua input; masalah tak boleh dikendalikan ada algoritma, tetapi terlalu perlahan
  2. BMasalah tak boleh diputuskan berada dalam NP, manakala masalah tak boleh dikendalikan berada dalam P
  3. CMasalah tak boleh dikendalikan tidak dapat diselesaikan oleh sebarang algoritma, manakala yang tak boleh diputuskan hanya memerlukan masa eksponen
  4. DKedua-duanya bermaksud masalah itu tidak mempunyai algoritma sama sekali
3.Struktur dataSederhana

Bagaimanakah anda mencari kunci minimum dalam pokok carian binari?

  1. AIkuti anak kiri dari akar sehingga tiada anak kiri
  2. BLawati setiap daun dan bandingkannya
  3. CLihat akar sahaja
  4. DIkuti anak kanan dari akar sehingga tiada anak kanan
4.Struktur dataSukar

Bagi setiap elemen tatasusunan anda mahu elemen lebih besar seterusnya di sebelah kanannya, dalam jumlah masa O(n). Struktur manakah yang membantu?

  1. ABaris gilir yang menyimpan setiap pasangan elemen
  2. BTindanan yang menyimpan elemen yang menunggu jawapannya
  3. CJadual cincang semua elemen
  4. DPokok carian binari yang dibina semula bagi setiap elemen
5.Teori grafSederhana
ABCDELitar EulerLaluan Euler, tiada litartiada kedua-duanya

Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Litar Euler
  2. 2Laluan Euler, tiada litar
  3. 3tiada kedua-duanya
6.Teori grafSukar
214103127112ABCDEF

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · O(n log n)

Mengapa ini jawapannya

Dengan teorem induk (a = 2, b = 2, f(n) = n), T(n) = Θ(n log n).

Jawapan

A · O(n log n)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · Masalah tak boleh diputuskan tiada algoritma untuk semua input; masalah tak boleh dikendalikan ada algoritma, tetapi terlalu perlahan

Mengapa ini jawapannya

Masalah penghentian tiada algoritma sama sekali; masalah NP-sukar seperti TSP boleh diselesaikan dengan kekerasan, cuma bukan dalam masa polinomial yang diketahui.

Jawapan

A · Masalah tak boleh diputuskan tiada algoritma untuk semua input; masalah tak boleh dikendalikan ada algoritma, tetapi terlalu perlahan
3.Struktur data

Jawapan: A · Ikuti anak kiri dari akar sehingga tiada anak kiri

Mengapa ini jawapannya

Nod paling kiri tiada kunci yang lebih kecil dalam pokok, jadi ia minimum; kosnya berkadar dengan ketinggian.

Jawapan

A · Ikuti anak kiri dari akar sehingga tiada anak kiri
4.Struktur data

Jawapan: B · Tindanan yang menyimpan elemen yang menunggu jawapannya

Mengapa ini jawapannya

Mengimbas dari kiri ke kanan, pop setiap elemen tindanan yang lebih kecil daripada yang semasa (elemen semasa ialah jawapan mereka), kemudian push-nya; setiap elemen bergerak paling banyak dua kali.

Jawapan

B · Tindanan yang menyimpan elemen yang menunggu jawapannya
5.Teori graf

Jawapan: Laluan Euler, tiada litar

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Darjah

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Bucu ganjil

B, D → 2
Laluan Euler, tiada litar

Jawapan

Laluan Euler, tiada litar

Laluan Euler bermula pada satu bucu ganjil dan berakhir pada bucu ganjil yang lain.

6.Teori graf

Jawapan: d(F) = 15

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 2, C: 14
B (2): D: 12, E: 4
E (4): C: 7, F: 15
C (7)
D (12)
F (15)

Laluan terpendek

A → B → E → F
d(F) = 15

Jawapan

d(F) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms