Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah kerumitan masa bagi: for i = 1 to n: for j = 1 to i: lakukan kerja O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n³)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Adakah 22n dalam O(2ⁿ)?

  1. ATidak, kerana 22n tumbuh lebih perlahan daripada 2ⁿ
  2. BYa, kerana faktor malar dalam eksponen sentiasa diabaikan dalam Big O
  3. CTidak, kerana 22n = 4ⁿ dan 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ tumbuh tanpa batas
  4. DYa, kerana kedua-duanya eksponen
3.Struktur dataSederhana

Mengapakah menyusuri tatasusunan selalunya jauh lebih pantas dalam praktik berbanding menyusuri senarai berpaut yang sama panjang?

  1. AElemen tatasusunan bersebelahan, jadi ia menggunakan cache CPU dengan baik
  2. BSenarai berpaut sentiasa menyimpan elemen pada cakera
  3. CTatasusunan menggunakan lebih sedikit arahan untuk membandingkan nilai
  4. DTraversal tatasusunan O(1) secara keseluruhan manakala traversal senarai berpaut O(n)
4.Struktur dataSukar

Tatasusunan dinamik berganda apabila penuh. Mengapakah banyak pelaksanaan mengecilkannya hanya apabila ia suku penuh, bukan separuh penuh?

  1. AKerana membahagi dua pada separuh akan menghilangkan elemen
  2. BKerana pengalokasi memori hanya boleh melepaskan memori dalam suku blok
  3. CUntuk mengekalkan tatasusunan tersusun
  4. DUntuk mengelak perubahan saiz berulang apabila push dan pop berselang-seli berhampiran sempadan
5.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 11 bucu dan 21 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 11|E| = 21
k =
6.Teori grafSukar
ABCDEF

Berapa banyak jalan sepanjang 3 dari B ke D? Jalan boleh mengulang bucu dan sisi. Panggil nombor ini N.

M = matriks kejirananL = 3
N =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · O(n²)

Mengapa ini jawapannya

Badan dalam berjalan sebanyak n(n + 1) / 2 kali secara keseluruhan, yang masih kuadratik.

Jawapan

D · O(n²)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · Tidak, kerana 22n = 4ⁿ dan 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ tumbuh tanpa batas

Mengapa ini jawapannya

Malar yang ditambah pada eksponen memberikan faktor malar, tetapi malar yang mendarab eksponen mengubah asas dan kadar pertumbuhan.

Jawapan

C · Tidak, kerana 22n = 4ⁿ dan 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ tumbuh tanpa batas
3.Struktur data

Jawapan: A · Elemen tatasusunan bersebelahan, jadi ia menggunakan cache CPU dengan baik

Mengapa ini jawapannya

Memori bersebelahan memberikan lokaliti rujukan yang baik, manakala nod berpaut mungkin bertaburan dan menyebabkan banyak kegagalan cache.

Jawapan

A · Elemen tatasusunan bersebelahan, jadi ia menggunakan cache CPU dengan baik
4.Struktur data

Jawapan: D · Untuk mengelak perubahan saiz berulang apabila push dan pop berselang-seli berhampiran sempadan

Mengapa ini jawapannya

Mengecil pada separuh boleh mencetuskan perubahan saiz pada setiap operasi dalam urutan sedemikian; jurang antara 1/4 dan penuh mengekalkan kos teramortisasi O(1).

Jawapan

D · Untuk mengelak perubahan saiz berulang apabila push dan pop berselang-seli berhampiran sempadan
5.Teori graf

Jawapan: k = 11

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Sisi pokok rentang

11 − 1 = 10

Sisi untuk dibuang

k = 21 − 10 = 11

Jawapan

k = 11
6.Teori graf

Jawapan: N = 7

Darjah: darjah sesuatu bucu ialah bilangan sisi yang bertemu padanya. Setiap sisi mempunyai dua hujung, maka jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi: Σ deg(v) = 2|E| (lema jabat tangan). Bilangan bucu berdarjah ganjil oleh itu genap. Kn mempunyai n(n − 1)/2 sisi, graf k-sekata pada n bucu mempunyai nk/2, dan pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Matriks kejiranan

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Satu langkah lagi

(M³)BD = 1·0 + 4·1 + 1·0 + 1·0 + 1·1 + 2·1 = 7

Jawapan

N = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms