Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah penyelesaian hubungan jadi semula T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Bagaimanakah n! dan 2ⁿ dibandingkan untuk n yang besar?

  1. AKeduanya tumbuh pada kadar yang sama
  2. Bn! tumbuh lebih pantas daripada 2ⁿ
  3. C2ⁿ tumbuh lebih pantas daripada n!
  4. Dn! ialah O(n²)
3.Struktur dataSederhana

Apakah kos menyisip elemen di tengah tatasusunan dengan n elemen?

  1. AO(log n), kerana carian binari
  2. BO(n), kerana elemen kemudian mesti dianjak
  3. CO(1), kerana indeks diketahui
  4. DO(n²), kerana setiap elemen bergerak n kali
4.Struktur dataSukar

Struktur union-find (set tercerai) dengan penyatuan mengikut pangkat dan pemampatan laluan mempunyai kos teramortisasi setiap operasi sebanyak:

  1. AO(α(n)), fungsi songsang Ackermann, yang hampir malar secara praktikal
  2. BO(log n) tepat
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
5.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 6 bucu dan 8 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 6|E| = 8
k =
6.Teori grafSukar
4311591576ABCDEF

Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum. Klik sisi yang ditambahnya sebagai sisi nombor 2; sisi yang dilangkau tidak dikira.

k = 2
  1. 1sisi AB
  2. 2sisi AC
  3. 3sisi BC
  4. 4sisi BD
  5. 5sisi CE
  6. 6sisi DE
  7. 7sisi DF
  8. 8sisi EF

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · O(log n)

Mengapa ini jawapannya

Masalah dibahagi dua pada setiap langkah dengan kerja malar bagi setiap langkah, jadi terdapat kira-kira log₂ n langkah.

Jawapan

D · O(log n)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · n! tumbuh lebih pantas daripada 2ⁿ

Mengapa ini jawapannya

Untuk n ≥ 4, n! melebihi 2ⁿ, dan nisbahnya tumbuh tanpa batas kerana setiap faktor tambahan n! lebih besar daripada 2.

Jawapan

B · n! tumbuh lebih pantas daripada 2ⁿ
3.Struktur data

Jawapan: B · O(n), kerana elemen kemudian mesti dianjak

Mengapa ini jawapannya

Semua elemen selepas titik sisipan bergerak satu kedudukan ke kanan, yang mengambil masa berkadar dengan n.

Jawapan

B · O(n), kerana elemen kemudian mesti dianjak
4.Struktur data

Jawapan: A · O(α(n)), fungsi songsang Ackermann, yang hampir malar secara praktikal

Mengapa ini jawapannya

Dengan kedua-dua pengoptimuman, operasi mengambil masa teramortisasi O(α(n)); α(n) ≤ 4 untuk sebarang n yang realistik.

Jawapan

A · O(α(n)), fungsi songsang Ackermann, yang hampir malar secara praktikal
5.Teori graf

Jawapan: k = 3

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Sisi pokok rentang

6 − 1 = 5

Sisi untuk dibuang

k = 8 − 5 = 3

Jawapan

k = 3
6.Teori graf

Jawapan: sisi AB

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

1. AC (3)
2. AB (4)
3. BD (5)
4. EF (6)
5. DF (7)

nombor sisi 2

AB

Jawapan

sisi AB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms