Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah penyelesaian hubungan jadi semula T(n) = T(n/2) + O(1)?

AO(1)
BO(n)
CO(log n)
DO(n log n)

2.Algoritma & kerumitanSukar

Apakah kos teramortisasi menokok pembilang binari, memandangkan satu tokokan boleh membalikkan banyak bit?

AO(n log n) bagi setiap tokokan
BO(n) bagi setiap tokokan
CO(1) bagi setiap tokokan
DO(log n) bagi setiap tokokan

3.Struktur dataSederhana

Kunci 50, 30, 70, 20, 40 disisip mengikut susunan ini ke dalam pokok carian binari kosong. Apakah anak kiri 30?

4.Struktur dataSukar

Memadam nod dengan dua anak daripada pokok carian binari biasanya dilakukan dengan:

AMenukarkannya dengan akar
BMenggantikannya dengan pengganti in-order (atau pendahulu) dan memadam nod itu
CMembina semula subpokok di bawahnya dari awal dan menyisip semula setiap kunci yang dikandunginya
DMembuang seluruh subpokok

5.Teori grafSederhana

Berapa banyak litar Hamilton H yang berbeza pada graf lengkap K₇? Litar yang hanya berbeza pada bucu permulaan atau arah dikira sama.

K₇

H =

6.Teori grafSukar

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F

d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · O(log n)

Mengapa ini jawapannya

Masalah dibahagi dua pada setiap langkah dengan kerja malar bagi setiap langkah, jadi terdapat kira-kira log₂ n langkah.

Jawapan

C · O(log n)

2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · O(1) bagi setiap tokokan

Mengapa ini jawapannya

Sepanjang n tokokan, bit i terbalik kira-kira n / 2ⁱ kali, jadi jumlahnya kurang daripada 2n pembalikan, purata O(1) bagi setiap satu.

Jawapan

C · O(1) bagi setiap tokokan

3.Struktur data

Jawapan: D · 20

Mengapa ini jawapannya

20 lebih kecil daripada 50 dan lebih kecil daripada 30, jadi ia menjadi anak kiri 30; 40 menjadi anak kanannya.

Jawapan

D · 20

4.Struktur data

Jawapan: B · Menggantikannya dengan pengganti in-order (atau pendahulu) dan memadam nod itu

Mengapa ini jawapannya

Pengganti in-order mempunyai paling banyak satu anak, jadi ia boleh dibuang dengan mudah selepas menyalin kuncinya ke dalam nod yang dipadam.

Jawapan

B · Menggantikannya dengan pengganti in-order (atau pendahulu) dan memadam nod itu

5.Teori graf

Jawapan: H = 360

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; K_n mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Kira

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Jawapan

H = 360

6.Teori graf

Jawapan: d(F) = 18

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 10, C: 2

C (2): B: 6, E: 15, G: 3

G (3): D: 9

B (6)

D (9)

E (15): F: 18

F (18)

Laluan terpendek

A → C → E → F

d(F) = 18

Jawapan

d(F) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms