Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Mengapakah pengaturcaraan dinamik tidak memberikan pecutan sebenar untuk isihan cantum?

  1. ASubmasalahnya tidak bertindih, jadi tiada apa-apa untuk digunakan semula
  2. BIsihan cantum tidak mempunyai struktur rekursif
  3. CPengaturcaraan dinamik hanya berfungsi pada masalah graf, bukan pada tatasusunan
  4. DIsihan cantum sudah O(n)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Apakah kos teramortisasi menokok pembilang binari, memandangkan satu tokokan boleh membalikkan banyak bit?

  1. AO(n log n) bagi setiap tokokan
  2. BO(log n) bagi setiap tokokan
  3. CO(1) bagi setiap tokokan
  4. DO(n) bagi setiap tokokan
3.Struktur dataSederhana

Traversal in-order bagi pokok carian binari melawat kunci dalam:

  1. ASusunan menaik tersusun
  2. BSusunan sisipan
  3. CSusunan peringkat
  4. DSentiasa susunan menurun
4.Struktur dataSukar

Sifat manakah yang mesti dipenuhi oleh pokok merah-hitam?

  1. ASetiap laluan dari sesuatu nod ke daun keturunannya mempunyai bilangan nod hitam yang sama
  2. BAkar mesti merah
  3. CSetiap nod mesti merah
  4. DSetiap nod merah mesti mempunyai anak merah, jadi nod merah sentiasa membentuk rantaian tanpa putus hingga ke daun
5.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 13 bucu dan 18 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 13|E| = 18
k =
6.Teori grafSukar
2761215114ABCDEF

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(D) laluan terpendek dari A ke D dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: D
d(D) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · Submasalahnya tidak bertindih, jadi tiada apa-apa untuk digunakan semula

Mengapa ini jawapannya

Separuh isihan cantum tidak bertindih dan setiap satu diselesaikan sekali; DP hanya membantu apabila submasalah berulang, seperti dalam Fibonacci.

Jawapan

A · Submasalahnya tidak bertindih, jadi tiada apa-apa untuk digunakan semula
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · O(1) bagi setiap tokokan

Mengapa ini jawapannya

Sepanjang n tokokan, bit i terbalik kira-kira n / 2ⁱ kali, jadi jumlahnya kurang daripada 2n pembalikan, purata O(1) bagi setiap satu.

Jawapan

C · O(1) bagi setiap tokokan
3.Struktur data

Jawapan: A · Susunan menaik tersusun

Mengapa ini jawapannya

Melawat subpokok kiri, kemudian nod, kemudian subpokok kanan mengeluarkan kunci BST dalam susunan tersusun.

Jawapan

A · Susunan menaik tersusun
4.Struktur data

Jawapan: A · Setiap laluan dari sesuatu nod ke daun keturunannya mempunyai bilangan nod hitam yang sama

Mengapa ini jawapannya

Peraturan merah-hitam: nod ialah merah atau hitam, akar hitam, nod merah mempunyai anak hitam, dan semua laluan mempunyai ketinggian hitam yang sama, mengekalkan ketinggian ≤ 2 log₂(n + 1).

Jawapan

A · Setiap laluan dari sesuatu nod ke daun keturunannya mempunyai bilangan nod hitam yang sama
5.Teori graf

Jawapan: k = 6

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Sisi pokok rentang

13 − 1 = 12

Sisi untuk dibuang

k = 18 − 12 = 6

Jawapan

k = 6
6.Teori graf

Jawapan: d(D) = 3

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 2, C: 7
B (2): D: 3, E: 16
D (3)
C (7): E: 9
E (9): F: 10
F (10)

Laluan terpendek

A → B → D
d(D) = 3

Jawapan

d(D) = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms