Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah kerumitan masa kes terburuk isihan pantas?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Adakah 22n dalam O(2ⁿ)?

  1. ATidak, kerana 22n tumbuh lebih perlahan daripada 2ⁿ
  2. BTidak, kerana 22n = 4ⁿ dan 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ tumbuh tanpa batas
  3. CYa, kerana faktor malar dalam eksponen sentiasa diabaikan dalam Big O
  4. DYa, kerana kedua-duanya eksponen
3.Struktur dataSederhana

Dalam timbunan min binari yang disimpan dalam tatasusunan (indeks bermula pada 0), anak bagi nod pada indeks i berada pada:

  1. A2i + 1 dan 2i + 2
  2. Bi/2 dan i/2 + 1
  3. C2i dan 2i + 1
  4. Di + 1 dan i + 2
4.Struktur dataSukar

Apakah masa larian carian pertama lebar pada graf dengan V bucu yang disimpan sebagai matriks bersebelahan?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V²)
5.Teori grafSederhana

Sebuah pokok mempunyai 4 bucu berdarjah 3, 2 bucu berdarjah 4, 2 bucu berdarjah 5, 2 bucu berdarjah 2, dan semua bucu lainnya ialah daun (berdarjah 1). Berapa banyak daun L yang ada padanya?

4 × deg 32 × deg 42 × deg 52 × deg 2
L =
6.Teori grafSukar
49114312110ABCDEF

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · O(n²)

Mengapa ini jawapannya

Dengan pangsi yang sentiasa buruk (cth. input yang sudah tersusun dan pangsi elemen pertama) pemetakan tidak seimbang, memberikan O(n²). Kes purata ialah O(n log n).

Jawapan

A · O(n²)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · Tidak, kerana 22n = 4ⁿ dan 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ tumbuh tanpa batas

Mengapa ini jawapannya

Malar yang ditambah pada eksponen memberikan faktor malar, tetapi malar yang mendarab eksponen mengubah asas dan kadar pertumbuhan.

Jawapan

B · Tidak, kerana 22n = 4ⁿ dan 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ tumbuh tanpa batas
3.Struktur data

Jawapan: A · 2i + 1 dan 2i + 2

Mengapa ini jawapannya

Bagi tatasusunan berasaskan 0, anak kiri berada pada 2i + 1, anak kanan pada 2i + 2, dan induk pada ⌊(i − 1)/2⌋.

Jawapan

A · 2i + 1 dan 2i + 2
4.Struktur data

Jawapan: D · O(V²)

Mengapa ini jawapannya

Setiap satu daripada V bucu mengimbas baris V entri, memberikan O(V²); dengan senarai bersebelahan BFS ialah O(V + E).

Jawapan

D · O(V²)
5.Teori graf

Jawapan: L = 16

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Lema jabat tangan untuk pokok

L + 34 = 2(L + 10) − 2
L = 16

Jawapan

L = 16

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) ke atas bucu berdarjah d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawapan: d(F) = 14

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 4, C: 9
B (4): E: 14
C (9): E: 13
E (13): D: 16, F: 14
F (14)
D (16)

Laluan terpendek

A → C → E → F
d(F) = 14

Jawapan

d(F) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms