Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan: Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf sekata: |E| = n·k/2
Pokok dan hutan: |E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam K_n: (n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L: (Mᴸ)_ij

Kaedah

Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Algoritma manakah yang mencari laluan terpendek dari satu sumber dalam graf dengan pemberat sisi tidak negatif?

ACarian pertama dalam
BAlgoritma Kruskal
CAlgoritma Dijkstra
DBellman–Ford diperlukan dalam semua kes

2.Algoritma & kerumitanSukar

Mengapakah algoritma Dijkstra boleh memberikan keputusan yang salah apabila sesetengah pemberat sisi negatif?

AIa masuk ke dalam gelung tak terhingga pada setiap sisi negatif
BNombor negatif tidak boleh disimpan dalam baris gilir keutamaan
CSesuatu bucu dimuktamadkan apabila dikeluarkan, tetapi sisi negatif kemudian masih boleh memberinya laluan yang lebih pendek
DIa hanya berfungsi pada graf tidak berarah

3.Struktur dataSederhana

Apakah kos menyisip elemen di tengah tatasusunan dengan n elemen?

AO(1), kerana indeks diketahui
BO(n), kerana elemen kemudian mesti dianjak
CO(log n), kerana carian binari
DO(n²), kerana setiap elemen bergerak n kali

4.Struktur dataSukar

Pernyataan manakah tentang isihan timbunan (heapsort) yang betul?

AIa stabil dan memerlukan memori tambahan O(n)
BIa memerlukan pokok carian binari sebagai storan tambahan, jadi ia menggunakan memori tambahan O(n)
CIa berjalan dalam masa O(n) pada sebarang input
DIa mengisih di tempat dalam masa kes terburuk O(n log n) tetapi tidak stabil

5.Teori grafSederhana

Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.

|V| = 6|E| = 7

1Litar Euler
2Laluan Euler, tiada litar
3tiada kedua-duanya

6.Teori grafSukar

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(G) laluan terpendek dari A ke G dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: G

d(G) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · Algoritma Dijkstra

Mengapa ini jawapannya

Algoritma Dijkstra berfungsi dengan pemberat tidak negatif; Bellman–Ford mengendalikan pemberat negatif; Kruskal membina pokok rentang minimum.

Jawapan

C · Algoritma Dijkstra

2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · Sesuatu bucu dimuktamadkan apabila dikeluarkan, tetapi sisi negatif kemudian masih boleh memberinya laluan yang lebih pendek

Mengapa ini jawapannya

Langkah tamak bergantung pada pemberat tidak negatif supaya jarak yang dikeluarkan adalah muktamad; Bellman–Ford digunakan apabila pemberat mungkin negatif.

Jawapan

C · Sesuatu bucu dimuktamadkan apabila dikeluarkan, tetapi sisi negatif kemudian masih boleh memberinya laluan yang lebih pendek

3.Struktur data

Jawapan: B · O(n), kerana elemen kemudian mesti dianjak

Mengapa ini jawapannya

Semua elemen selepas titik sisipan bergerak satu kedudukan ke kanan, yang mengambil masa berkadar dengan n.

Jawapan

B · O(n), kerana elemen kemudian mesti dianjak

4.Struktur data

Jawapan: D · Ia mengisih di tempat dalam masa kes terburuk O(n log n) tetapi tidak stabil

Mengapa ini jawapannya

Heapsort membina timbunan maks dan mengeluarkan maksimum n kali dalam tatasusunan yang sama; pertukaran jarak jauh boleh menyusun semula kunci yang sama.

Jawapan

D · Ia mengisih di tempat dalam masa kes terburuk O(n log n) tetapi tidak stabil

5.Teori graf

Jawapan: tiada kedua-duanya

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; K_n mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Darjah

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Bucu ganjil

B, D, E, F → 4

tiada kedua-duanya

Jawapan

tiada kedua-duanya

6.Teori graf

Jawapan: d(G) = 13

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 10, C: 4

C (4): E: 15, G: 13

B (10): D: 19

G (13)

E (15): F: 27

D (19)

F (27)

Laluan terpendek

A → C → G

d(G) = 13

Jawapan

d(G) = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms