Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Berapa banyak peringkat yang ada pada rekursi isihan cantum bagi tatasusunan n elemen?

  1. AKira-kira n / 2
  2. BKira-kira √n
  3. CKira-kira log₂ n
  4. DKira-kira n
2.Algoritma & kerumitanSukar

Bagaimanakah n! dan 2ⁿ dibandingkan untuk n yang besar?

  1. An! ialah O(n²)
  2. Bn! tumbuh lebih pantas daripada 2ⁿ
  3. C2ⁿ tumbuh lebih pantas daripada n!
  4. DKeduanya tumbuh pada kadar yang sama
3.Struktur dataSederhana

Apakah ketinggian kes terburuk pokok carian binari dengan n nod jika kunci disisip mengikut susunan tersusun?

  1. Alog₂ n
  2. B1
  3. Cn (ia menjadi senarai berpaut)
  4. D√n
4.Struktur dataSukar

Struktur union-find (set tercerai) dengan penyatuan mengikut pangkat dan pemampatan laluan mempunyai kos teramortisasi setiap operasi sebanyak:

  1. AO(log n) tepat
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(α(n)), fungsi songsang Ackermann, yang hampir malar secara praktikal
5.Teori grafSederhana
ABCDEFLitar EulerLaluan Euler, tiada litartiada kedua-duanya

Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Litar Euler
  2. 2Laluan Euler, tiada litar
  3. 3tiada kedua-duanya
6.Teori grafSukar
21312121115151527ABCDEFG

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(D) laluan terpendek dari A ke D dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: D
d(D) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · Kira-kira log₂ n

Mengapa ini jawapannya

Membahagi dua dari n hingga 1 mengambil kira-kira log₂ n peringkat, dan setiap peringkat melakukan kerja pencantuman O(n), memberikan O(n log n).

Jawapan

C · Kira-kira log₂ n
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · n! tumbuh lebih pantas daripada 2ⁿ

Mengapa ini jawapannya

Untuk n ≥ 4, n! melebihi 2ⁿ, dan nisbahnya tumbuh tanpa batas kerana setiap faktor tambahan n! lebih besar daripada 2.

Jawapan

B · n! tumbuh lebih pantas daripada 2ⁿ
3.Struktur data

Jawapan: C · n (ia menjadi senarai berpaut)

Mengapa ini jawapannya

Sisipan tersusun mencipta pokok terdegenerasi dengan ketinggian n, menjadikan carian O(n). Pokok seimbang mencegah ini.

Jawapan

C · n (ia menjadi senarai berpaut)
4.Struktur data

Jawapan: D · O(α(n)), fungsi songsang Ackermann, yang hampir malar secara praktikal

Mengapa ini jawapannya

Dengan kedua-dua pengoptimuman, operasi mengambil masa teramortisasi O(α(n)); α(n) ≤ 4 untuk sebarang n yang realistik.

Jawapan

D · O(α(n)), fungsi songsang Ackermann, yang hampir malar secara praktikal
5.Teori graf

Jawapan: tiada kedua-duanya

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Darjah

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Bucu ganjil

B, D, E, F → 4
tiada kedua-duanya

Jawapan

tiada kedua-duanya
6.Teori graf

Jawapan: d(D) = 14

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 2, C: 13
B (2): D: 14, G: 17
C (13): G: 15
D (14): E: 25, F: 29
G (15): E: 22
E (22)
F (29)

Laluan terpendek

A → B → D
d(D) = 14

Jawapan

d(D) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms