Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah yang dikira oleh algoritma Floyd–Warshall, dan sepantas mana?

  1. ASusunan topologi dalam O(V²)
  2. BPokok rentang minimum dalam O(E log V)
  3. CLaluan terpendek dari satu bucu sumber ke semua bucu lain dalam O(V + E)
  4. DLaluan terpendek antara semua pasangan bucu dalam O(V³)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Untuk menunjukkan bahawa masalah baharu X ialah NP-sukar, apakah yang mesti anda lakukan?

  1. AMenunjukkan bahawa X tidak mempunyai algoritma polinomial untuk input kecil
  2. BMenunjukkan bahawa X boleh disahkan dalam masa polinomial
  3. CMenurunkan X kepada masalah NP-sukar yang diketahui dalam masa polinomial
  4. DMenurunkan masalah NP-sukar yang diketahui kepada X dalam masa polinomial
3.Struktur dataSederhana

Jadual cincang bersaiz 7 menggunakan h(k) = k mod 7 dan penyiasatan linear. Selepas menyisip 10, di manakah 17 disimpan?

  1. AIndeks 0
  2. BIndeks 6
  3. CIndeks 4
  4. DIndeks 3
4.Struktur dataSukar

Dalam penimbal bulat, front == rear boleh bermaksud kosong atau penuh. Apakah cara lazim untuk membezakannya?

  1. ASimpan front dan rear dalam pemboleh ubah yang sama
  2. BSentiasa kosongkan penimbal apabila front sama dengan rear, jadi keadaannya kosong
  3. CJadikan saiz penimbal kuasa dua
  4. DSimpan pembilang elemen yang berasingan, atau sentiasa biarkan satu slot tidak digunakan
5.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 14 bucu dan 24 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 14|E| = 24
k =
6.Teori grafSukar
14987121518203ABCDEF

Cari jumlah berat W pokok rentang minimum bagi graf berpemberat itu.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · Laluan terpendek antara semua pasangan bucu dalam O(V³)

Mengapa ini jawapannya

Floyd–Warshall ialah algoritma pengaturcaraan dinamik yang membenarkan setiap bucu secara bergilir sebagai titik perantara, menggunakan masa O(V³).

Jawapan

D · Laluan terpendek antara semua pasangan bucu dalam O(V³)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · Menurunkan masalah NP-sukar yang diketahui kepada X dalam masa polinomial

Mengapa ini jawapannya

Jika masalah sukar yang diketahui boleh diubah menjadi X dengan cekap, algoritma pantas untuk X juga akan menyelesaikan masalah yang diketahui itu.

Jawapan

D · Menurunkan masalah NP-sukar yang diketahui kepada X dalam masa polinomial
3.Struktur data

Jawapan: C · Indeks 4

Mengapa ini jawapannya

10 mod 7 = 3 dan 17 mod 7 = 3; indeks 3 sudah diambil, jadi penyiasatan linear mencuba slot seterusnya, indeks 4.

Jawapan

C · Indeks 4
4.Struktur data

Jawapan: D · Simpan pembilang elemen yang berasingan, atau sentiasa biarkan satu slot tidak digunakan

Mengapa ini jawapannya

Dengan pembilang, kosong bermaksud count = 0 dan penuh bermaksud count = kapasiti; dengan satu slot kosong, penuh ditakrifkan sebagai (rear + 1) mod n == front.

Jawapan

D · Simpan pembilang elemen yang berasingan, atau sentiasa biarkan satu slot tidak digunakan
5.Teori graf

Jawapan: k = 11

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Sisi pokok rentang

14 − 1 = 13

Sisi untuk dibuang

k = 24 − 13 = 11

Jawapan

k = 11
6.Teori graf

Jawapan: W = 45

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

BE (3): ambil
BD (7): ambil
BC (8): ambil
AC (9): ambil
CE (12): langkau, menutup kitaran
AB (14): langkau, menutup kitaran
DE (15): langkau, menutup kitaran
DF (18): ambil

Jumlah berat

W = 3 + 7 + 8 + 9 + 18 = 45

Jawapan

W = 45

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms