Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Dengan syiling 1, 3 dan 4 dan jumlah 6, berapa banyak syiling yang digunakan oleh kaedah tamak "syiling terbesar dahulu", berbanding optimum?

  1. ATamak menggunakan 3 syiling; optimum ialah 2
  2. BTamak menggunakan 3 syiling; optimum ialah 3
  3. CTamak menggunakan 2 syiling; optimum ialah 2
  4. DTamak menggunakan 4 syiling; optimum ialah 3
2.Algoritma & kerumitanSukar

Bagaimanakah masalah jurujual kembara dikelaskan?

  1. AIa tidak boleh diputuskan
  2. BIa dalam P kerana algoritma Dijkstra menyelesaikannya dengan melawat setiap bandar sekali
  3. CVersi keputusan dalam P tetapi versi pengoptimuman NP-lengkap
  4. DVersi keputusan ialah NP-lengkap dan versi pengoptimuman ialah NP-sukar
3.Struktur dataSederhana

Mengapakah timbunan binari boleh disimpan dalam tatasusunan tanpa sebarang penuding?

  1. ASemua kunci dalam timbunan adalah sama
  2. BTatasusunan secara automatik mengekalkan kunci dalam susunan tersusun, jadi tiada penuding diperlukan
  3. CTimbunan tidak pernah mengandungi lebih daripada 100 elemen
  4. DIa pokok binari lengkap, jadi kedudukan mengikut formula indeks yang mudah
4.Struktur dataSukar

Bagi setiap elemen tatasusunan anda mahu elemen lebih besar seterusnya di sebelah kanannya, dalam jumlah masa O(n). Struktur manakah yang membantu?

  1. APokok carian binari yang dibina semula bagi setiap elemen
  2. BTindanan yang menyimpan elemen yang menunggu jawapannya
  3. CBaris gilir yang menyimpan setiap pasangan elemen
  4. DJadual cincang semua elemen
5.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 15 bucu dan 22 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 15|E| = 22
k =
6.Teori grafSukar
6121321109ABCDEF

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · Tamak menggunakan 3 syiling; optimum ialah 2

Mengapa ini jawapannya

Tamak mengambil 4 + 1 + 1 = 3 syiling, tetapi 3 + 3 hanya menggunakan 2, jadi tamak tidak optimum untuk sistem syiling ini; pengaturcaraan dinamik optimum.

Jawapan

A · Tamak menggunakan 3 syiling; optimum ialah 2
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · Versi keputusan ialah NP-lengkap dan versi pengoptimuman ialah NP-sukar

Mengapa ini jawapannya

"Adakah terdapat lawatan sepanjang paling banyak k?" ialah NP-lengkap; mencari lawatan terpendek ialah NP-sukar, kerana ia sekurang-kurangnya sesukar itu.

Jawapan

D · Versi keputusan ialah NP-lengkap dan versi pengoptimuman ialah NP-sukar
3.Struktur data

Jawapan: D · Ia pokok binari lengkap, jadi kedudukan mengikut formula indeks yang mudah

Mengapa ini jawapannya

Kelengkapan bermaksud tiada jurang, jadi anak bagi indeks i sentiasa berada pada 2i + 1 dan 2i + 2.

Jawapan

D · Ia pokok binari lengkap, jadi kedudukan mengikut formula indeks yang mudah
4.Struktur data

Jawapan: B · Tindanan yang menyimpan elemen yang menunggu jawapannya

Mengapa ini jawapannya

Mengimbas dari kiri ke kanan, pop setiap elemen tindanan yang lebih kecil daripada yang semasa (elemen semasa ialah jawapan mereka), kemudian push-nya; setiap elemen bergerak paling banyak dua kali.

Jawapan

B · Tindanan yang menyimpan elemen yang menunggu jawapannya
5.Teori graf

Jawapan: k = 8

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Sisi pokok rentang

15 − 1 = 14

Sisi untuk dibuang

k = 22 − 14 = 8

Jawapan

k = 8
6.Teori graf

Jawapan: d(F) = 10

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 6, C: 12
B (6): C: 7, D: 9, E: 15
C (7): E: 9
D (9): F: 10
E (9)
F (10)

Laluan terpendek

A → B → D → F
d(F) = 10

Jawapan

d(F) = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms