Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Anda mengisih tatasusunan n elemen sekali dan kemudian menjawab k pertanyaan keahlian dengan carian binari. Apakah jumlah kosnya?

  1. AO(nk)
  2. BO(n log n + k log n)
  3. CO(k n log n)
  4. DO(n + k)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Bagaimanakah masalah jurujual kembara dikelaskan?

  1. AVersi keputusan dalam P tetapi versi pengoptimuman NP-lengkap
  2. BIa dalam P kerana algoritma Dijkstra menyelesaikannya dengan melawat setiap bandar sekali
  3. CVersi keputusan ialah NP-lengkap dan versi pengoptimuman ialah NP-sukar
  4. DIa tidak boleh diputuskan
3.Struktur dataSederhana

Dalam baris gilir bulat yang disimpan dalam tatasusunan berkapasiti n, bagaimanakah kedudukan seterusnya selepas indeks i dikira?

  1. Ai + 1
  2. B2i + 1
  3. C(i + 1) mod n
  4. D(i − 1) mod n
4.Struktur dataSukar

Bagaimanakah anda boleh mengesan sama ada senarai berpaut tunggal mengandungi kitaran menggunakan memori tambahan O(1)?

  1. AGerakkan satu penuding satu langkah dan satu lagi dua langkah dan semak sama ada mereka bertemu
  2. BSimpan setiap nod yang dilawati dalam set cincang
  3. CIsih senarai dan cari pendua
  4. DKira nod sehingga bilangan melebihi medan panjang senarai
5.Teori grafSederhana
ABCDEFGLitar EulerLaluan Euler, tiada litartiada kedua-duanya

Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Litar Euler
  2. 2Laluan Euler, tiada litar
  3. 3tiada kedua-duanya
6.Teori grafSukar
171547311ABCDEF

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · O(n log n + k log n)

Mengapa ini jawapannya

Pengisihan berkos O(n log n) dan setiap pertanyaan O(log n); ini mengatasi k imbasan linear (O(nk)) apabila k besar.

Jawapan

B · O(n log n + k log n)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · Versi keputusan ialah NP-lengkap dan versi pengoptimuman ialah NP-sukar

Mengapa ini jawapannya

"Adakah terdapat lawatan sepanjang paling banyak k?" ialah NP-lengkap; mencari lawatan terpendek ialah NP-sukar, kerana ia sekurang-kurangnya sesukar itu.

Jawapan

C · Versi keputusan ialah NP-lengkap dan versi pengoptimuman ialah NP-sukar
3.Struktur data

Jawapan: C · (i + 1) mod n

Mengapa ini jawapannya

Operasi modulo memusingkan indeks n − 1 kembali ke 0, jadi tatasusunan digunakan semula tanpa menganjak elemen.

Jawapan

C · (i + 1) mod n
4.Struktur data

Jawapan: A · Gerakkan satu penuding satu langkah dan satu lagi dua langkah dan semak sama ada mereka bertemu

Mengapa ini jawapannya

Dalam algoritma Floyd, jika terdapat kitaran penuding pantas akhirnya mengejar yang perlahan; jika tidak penuding pantas sampai ke null.

Jawapan

A · Gerakkan satu penuding satu langkah dan satu lagi dua langkah dan semak sama ada mereka bertemu
5.Teori graf

Jawapan: tiada kedua-duanya

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Darjah

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Bucu ganjil

A, B, C, D → 4
tiada kedua-duanya

Jawapan

tiada kedua-duanya
6.Teori graf

Jawapan: d(F) = 6

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 1, C: 7
B (1): D: 5
D (5): E: 8, F: 6
F (6): E: 7
C (7)
E (7)

Laluan terpendek

A → B → D → F
d(F) = 6

Jawapan

d(F) = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms