Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah kerumitan masa algoritma Bellman–Ford pada graf dengan V bucu dan E sisi?

  1. AO(E log V)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V³ × E)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Dua perkara manakah yang mesti ditunjukkan untuk membuktikan bahawa masalah keputusan X ialah NP-lengkap?

  1. AX dalam P, dan X boleh diturunkan kepada SAT
  2. BX tiada algoritma polinomial, dan X boleh diputuskan
  3. CX dalam NP, dan masalah NP-lengkap yang diketahui boleh diturunkan kepada X dalam masa polinomial
  4. DX boleh diturunkan kepada masalah dalam P, dan X dalam NP
3.Struktur dataSederhana

Pokok binari mempunyai akar 1 dengan anak kiri 2 dan anak kanan 3; nod 2 mempunyai anak 4 (kiri) dan 5 (kanan). Apakah traversal preorder?

  1. A1 2 3 4 5
  2. B4 5 2 3 1
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 2 5 1 3
4.Struktur dataSukar

Pokok segmen lazimnya digunakan untuk:

  1. AMenjawab pertanyaan julat (seperti hasil tambah julat) dan kemas kini dalam O(log n)
  2. BMelaksanakan tindanan
  3. CMengisih rentetan mengikut abjad dengan menyimpan setiap awalan dalam nod pokok yang berasingan
  4. DMenyimpan sisi graf
5.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 7 bucu dan 11 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 7|E| = 11
k =
6.Teori grafSukar
ABCDEF

Berapa banyak jalan tertutup sepanjang 3 bermula dan berakhir di E? Jalan boleh mengulang bucu dan sisi. Panggil nombor ini N.

M = matriks kejirananL = 3
N =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · O(V × E)

Mengapa ini jawapannya

Setiap satu daripada V − 1 pusingan melonggarkan semua E sisi, memberikan O(VE); sebagai balasan ia mengendalikan pemberat sisi negatif.

Jawapan

B · O(V × E)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · X dalam NP, dan masalah NP-lengkap yang diketahui boleh diturunkan kepada X dalam masa polinomial

Mengapa ini jawapannya

Keahlian dalam NP menunjukkan X tidak lebih sukar daripada NP; penurunan daripada masalah NP-lengkap yang diketahui menunjukkan X sekurang-kurangnya sesukar seluruh NP.

Jawapan

C · X dalam NP, dan masalah NP-lengkap yang diketahui boleh diturunkan kepada X dalam masa polinomial
3.Struktur data

Jawapan: C · 1 2 4 5 3

Mengapa ini jawapannya

Preorder melawat 1, kemudian subpokok kirinya (2, 4, 5), kemudian 3; pilihan lain ialah inorder, postorder dan level-order.

Jawapan

C · 1 2 4 5 3
4.Struktur data

Jawapan: A · Menjawab pertanyaan julat (seperti hasil tambah julat) dan kemas kini dalam O(log n)

Mengapa ini jawapannya

Pokok segmen menyimpan agregat untuk selang, menyokong pertanyaan julat dan kemas kini titik dalam masa O(log n).

Jawapan

A · Menjawab pertanyaan julat (seperti hasil tambah julat) dan kemas kini dalam O(log n)
5.Teori graf

Jawapan: k = 5

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Sisi pokok rentang

7 − 1 = 6

Sisi untuk dibuang

k = 11 − 6 = 5

Jawapan

k = 5
6.Teori graf

Jawapan: N = 2

Darjah: darjah sesuatu bucu ialah bilangan sisi yang bertemu padanya. Setiap sisi mempunyai dua hujung, maka jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi: Σ deg(v) = 2|E| (lema jabat tangan). Bilangan bucu berdarjah ganjil oleh itu genap. Kn mempunyai n(n − 1)/2 sisi, graf k-sekata pada n bucu mempunyai nk/2, dan pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Matriks kejiranan

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Satu langkah lagi

(M³)EE = 1·0 + 2·0 + 0·1 + 1·1 + 3·0 + 1·1 = 2

Jawapan

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms