Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Kerumitan masa Fibonacci rekursif naif (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) ialah:

  1. AMalar
  2. BLinear
  3. CLogaritma
  4. DEksponen
2.Algoritma & kerumitanSukar

Adakah 22n dalam O(2ⁿ)?

  1. AYa, kerana kedua-duanya eksponen
  2. BYa, kerana faktor malar dalam eksponen sentiasa diabaikan dalam Big O
  3. CTidak, kerana 22n = 4ⁿ dan 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ tumbuh tanpa batas
  4. DTidak, kerana 22n tumbuh lebih perlahan daripada 2ⁿ
3.Struktur dataSederhana

Bagaimanakah extract-min berfungsi dalam timbunan min binari?

  1. ABuang elemen terakhir tatasusunan
  2. BBuang akar dan anjakkan semua elemen satu tempat ke kiri
  3. CCari semua daun untuk minimum baharu
  4. DPindahkan elemen terakhir ke akar dan gerakkannya ke bawah
4.Struktur dataSukar

Memadam nod dengan dua anak daripada pokok carian binari biasanya dilakukan dengan:

  1. AMenukarkannya dengan akar
  2. BMenggantikannya dengan pengganti in-order (atau pendahulu) dan memadam nod itu
  3. CMembina semula subpokok di bawahnya dari awal dan menyisip semula setiap kunci yang dikandunginya
  4. DMembuang seluruh subpokok
5.Teori grafSederhana

Sebuah pokok mempunyai 4 bucu berdarjah 3, 4 bucu berdarjah 4, 4 bucu berdarjah 5, dan semua bucu lainnya ialah daun (berdarjah 1). Berapa banyak daun L yang ada padanya?

4 × deg 34 × deg 44 × deg 5
L =
6.Teori grafSukar
10151345144833ABCDEFG

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · Eksponen

Mengapa ini jawapannya

Pokok panggilan tumbuh kira-kira seperti φⁿ (kira-kira 1.618ⁿ). Memoisasi mengurangkannya kepada O(n).

Jawapan

D · Eksponen
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · Tidak, kerana 22n = 4ⁿ dan 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ tumbuh tanpa batas

Mengapa ini jawapannya

Malar yang ditambah pada eksponen memberikan faktor malar, tetapi malar yang mendarab eksponen mengubah asas dan kadar pertumbuhan.

Jawapan

C · Tidak, kerana 22n = 4ⁿ dan 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ tumbuh tanpa batas
3.Struktur data

Jawapan: D · Pindahkan elemen terakhir ke akar dan gerakkannya ke bawah

Mengapa ini jawapannya

Elemen terakhir mengisi lubang di akar dan ditukar dengan anaknya yang lebih kecil sehingga sifat timbunan dipenuhi, mengambil O(log n).

Jawapan

D · Pindahkan elemen terakhir ke akar dan gerakkannya ke bawah
4.Struktur data

Jawapan: B · Menggantikannya dengan pengganti in-order (atau pendahulu) dan memadam nod itu

Mengapa ini jawapannya

Pengganti in-order mempunyai paling banyak satu anak, jadi ia boleh dibuang dengan mudah selepas menyalin kuncinya ke dalam nod yang dipadam.

Jawapan

B · Menggantikannya dengan pengganti in-order (atau pendahulu) dan memadam nod itu
5.Teori graf

Jawapan: L = 26

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Lema jabat tangan untuk pokok

L + 48 = 2(L + 12) − 2
L = 26

Jawapan

L = 26

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) ke atas bucu berdarjah d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawapan: d(F) = 26

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): C: 10
C (10): B: 25, E: 23, G: 18
G (18): B: 22, D: 21, E: 21
D (21): F: 26
E (21)
B (22)
F (26)

Laluan terpendek

A → C → G → D → F
d(F) = 26

Jawapan

d(F) = 26

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms