Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Algoritma tamak (greedy):

  1. ASentiasa memberikan penyelesaian optimum
  2. BHanya menggunakan rekursi
  3. CMembuat pilihan terbaik setempat pada setiap langkah
  4. DMencuba setiap penyelesaian yang mungkin
2.Algoritma & kerumitanSukar

Bagaimanakah masalah jurujual kembara dikelaskan?

  1. AVersi keputusan dalam P tetapi versi pengoptimuman NP-lengkap
  2. BIa tidak boleh diputuskan
  3. CIa dalam P kerana algoritma Dijkstra menyelesaikannya dengan melawat setiap bandar sekali
  4. DVersi keputusan ialah NP-lengkap dan versi pengoptimuman ialah NP-sukar
3.Struktur dataSederhana

Apakah yang benar tentang matriks bersebelahan bagi graf tidak berarah?

  1. ASetiap baris mempunyai tepat satu 1
  2. BIa simetri pada pepenjuru utama
  3. CIa sentiasa segi tiga atas
  4. DPepenjuru utamanya sentiasa mengandungi satu
4.Struktur dataSukar

Kerumitan masa decrease-key dalam timbunan binari (diberi kedudukan elemen) ialah:

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(1)
5.Teori grafSederhana
ABCDEFGLitar EulerLaluan Euler, tiada litartiada kedua-duanya

Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Litar Euler
  2. 2Laluan Euler, tiada litar
  3. 3tiada kedua-duanya
6.Teori grafSukar
117473143143ABCDEFG

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · Membuat pilihan terbaik setempat pada setiap langkah

Mengapa ini jawapannya

Algoritma tamak adalah pantas dan optimum untuk sesetengah masalah (cth. Dijkstra, pengekodan Huffman) tetapi tidak secara umum (cth. pertukaran syiling dengan sesetengah sistem syiling).

Jawapan

C · Membuat pilihan terbaik setempat pada setiap langkah
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · Versi keputusan ialah NP-lengkap dan versi pengoptimuman ialah NP-sukar

Mengapa ini jawapannya

"Adakah terdapat lawatan sepanjang paling banyak k?" ialah NP-lengkap; mencari lawatan terpendek ialah NP-sukar, kerana ia sekurang-kurangnya sesukar itu.

Jawapan

D · Versi keputusan ialah NP-lengkap dan versi pengoptimuman ialah NP-sukar
3.Struktur data

Jawapan: B · Ia simetri pada pepenjuru utama

Mengapa ini jawapannya

Dalam graf tidak berarah sisi {u, v} bermaksud kedua-dua M[u][v] dan M[v][u] ditetapkan, jadi matriks sama dengan transposnya.

Jawapan

B · Ia simetri pada pepenjuru utama
4.Struktur data

Jawapan: A · O(log n)

Mengapa ini jawapannya

Selepas mengurangkan kunci, elemen bergerak ke atas paling banyak setinggi timbunan. Timbunan Fibonacci mencapai decrease-key O(1) teramortisasi.

Jawapan

A · O(log n)
5.Teori graf

Jawapan: Laluan Euler, tiada litar

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Darjah

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Bucu ganjil

A, E → 2
Laluan Euler, tiada litar

Jawapan

Laluan Euler, tiada litar

Laluan Euler bermula pada satu bucu ganjil dan berakhir pada bucu ganjil yang lain.

6.Teori graf

Jawapan: d(F) = 10

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): C: 1
C (1): B: 2, E: 8, G: 4
B (2)
G (4): D: 18, E: 7
E (7): D: 11, F: 10
F (10)
D (11)

Laluan terpendek

A → C → G → E → F
d(F) = 10

Jawapan

d(F) = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms