Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah kerumitan masa kes terburuk isihan pantas?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Isihan sisipan berjalan dalam O(n) pada input tersusun. Adakah ini bercanggah dengan batas bawah Ω(n log n) untuk isihan perbandingan?

  1. AYa, oleh itu batas bawah itu salah
  2. BYa, tetapi hanya untuk tatasusunan lebih pendek daripada 100
  3. CTidak, kerana isihan sisipan bukan isihan perbandingan
  4. DTidak, batas bawah terpakai pada kes terburuk merentasi semua input, bukan pada setiap input
3.Struktur dataSederhana

Berapa lamakah carian perkataan sepanjang L dalam trie dengan abjad tetap?

  1. AO(L), tanpa bergantung pada berapa banyak perkataan disimpan
  2. BO(n), dengan n ialah bilangan perkataan
  3. CO(L × n)
  4. DO(log n), dengan n ialah bilangan perkataan
4.Struktur dataSukar

Di bawah pencincangan seragam mudah, apakah masa dijangka carian dalam jadual cincang dengan perantaian, n kunci dan m baldi?

  1. AO(n)
  2. BO(1 + α), dengan α = n / m
  3. CO(log n)
  4. DO(m)
5.Teori grafSederhana

Sebuah pokok mempunyai 3 bucu berdarjah 3, 3 bucu berdarjah 4, dan semua bucu lainnya ialah daun (berdarjah 1). Berapa banyak daun L yang ada padanya?

3 × deg 33 × deg 4
L =
6.Teori grafSukar
4185196171321ABCDEFG

Cari jumlah berat W pokok rentang minimum bagi graf berpemberat itu.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · O(n²)

Mengapa ini jawapannya

Dengan pangsi yang sentiasa buruk (cth. input yang sudah tersusun dan pangsi elemen pertama) pemetakan tidak seimbang, memberikan O(n²). Kes purata ialah O(n log n).

Jawapan

C · O(n²)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · Tidak, batas bawah terpakai pada kes terburuk merentasi semua input, bukan pada setiap input

Mengapa ini jawapannya

Batas itu menyatakan bahawa setiap isihan perbandingan memerlukan kira-kira n log n perbandingan pada sesetengah input bersaiz n; input khas boleh jauh lebih pantas.

Jawapan

D · Tidak, batas bawah terpakai pada kes terburuk merentasi semua input, bukan pada setiap input
3.Struktur data

Jawapan: A · O(L), tanpa bergantung pada berapa banyak perkataan disimpan

Mengapa ini jawapannya

Setiap aksara memilih satu anak, jadi carian mengambil L langkah tanpa mengira berapa banyak perkataan trie mengandungi.

Jawapan

A · O(L), tanpa bergantung pada berapa banyak perkataan disimpan
4.Struktur data

Jawapan: B · O(1 + α), dengan α = n / m

Mengapa ini jawapannya

Mengira cincang berkos O(1) dan panjang rantai dijangka ialah α, jadi mengekalkan α terbatas dengan mengubah saiz memberikan masa dijangka O(1).

Jawapan

B · O(1 + α), dengan α = n / m
5.Teori graf

Jawapan: L = 11

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Lema jabat tangan untuk pokok

L + 21 = 2(L + 6) − 2
L = 11

Jawapan

L = 11

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) ke atas bucu berdarjah d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawapan: W = 42

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

GE (1): ambil
GC (2): ambil
AB (4): ambil
BC (5): ambil
CE (6): langkau, menutup kitaran
EF (13): ambil
DF (17): ambil

Jumlah berat

W = 1 + 2 + 4 + 5 + 13 + 17 = 42

Jawapan

W = 42

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms