Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Hubungan jadi semula T(n) = 2T(n/2) + O(n) mempunyai penyelesaian:

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Apakah kos teramortisasi menokok pembilang binari, memandangkan satu tokokan boleh membalikkan banyak bit?

  1. AO(1) bagi setiap tokokan
  2. BO(n log n) bagi setiap tokokan
  3. CO(n) bagi setiap tokokan
  4. DO(log n) bagi setiap tokokan
3.Struktur dataSederhana

Mengapakah timbunan binari boleh disimpan dalam tatasusunan tanpa sebarang penuding?

  1. ATimbunan tidak pernah mengandungi lebih daripada 100 elemen
  2. BSemua kunci dalam timbunan adalah sama
  3. CIa pokok binari lengkap, jadi kedudukan mengikut formula indeks yang mudah
  4. DTatasusunan secara automatik mengekalkan kunci dalam susunan tersusun, jadi tiada penuding diperlukan
4.Struktur dataSukar

Pokok Fenwick (pokok berindeks binari) ke atas tatasusunan n nombor menyokong operasi manakah dalam O(log n)?

  1. AMencari median dalam O(1)
  2. BMengisih tatasusunan dan carian binari
  3. CMenyisip elemen pada sebarang kedudukan
  4. DPertanyaan hasil tambah awalan dan kemas kini elemen tunggal
5.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 14 bucu dan 25 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 14|E| = 25
k =
6.Teori grafSukar
18412171669107514ABCDEFG

Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum. Klik sisi yang ditambahnya sebagai sisi nombor 3; sisi yang dilangkau tidak dikira.

k = 3
  1. 1sisi AC
  2. 2sisi BC
  3. 3sisi BD
  4. 4sisi CE
  5. 5sisi DE
  6. 6sisi DF
  7. 7sisi EF
  8. 8sisi GB
  9. 9sisi GC
  10. 10sisi GD
  11. 11sisi GE

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · O(n log n)

Mengapa ini jawapannya

Dengan teorem induk (a = 2, b = 2, f(n) = n), T(n) = Θ(n log n).

Jawapan

D · O(n log n)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: A · O(1) bagi setiap tokokan

Mengapa ini jawapannya

Sepanjang n tokokan, bit i terbalik kira-kira n / 2ⁱ kali, jadi jumlahnya kurang daripada 2n pembalikan, purata O(1) bagi setiap satu.

Jawapan

A · O(1) bagi setiap tokokan
3.Struktur data

Jawapan: C · Ia pokok binari lengkap, jadi kedudukan mengikut formula indeks yang mudah

Mengapa ini jawapannya

Kelengkapan bermaksud tiada jurang, jadi anak bagi indeks i sentiasa berada pada 2i + 1 dan 2i + 2.

Jawapan

C · Ia pokok binari lengkap, jadi kedudukan mengikut formula indeks yang mudah
4.Struktur data

Jawapan: D · Pertanyaan hasil tambah awalan dan kemas kini elemen tunggal

Mengapa ini jawapannya

Pokok Fenwick menyimpan hasil tambah separa ke atas julat yang ditentukan oleh bit rendah setiap indeks, jadi kedua-dua hasil tambah awalan dan kemas kini titik mengambil O(log n).

Jawapan

D · Pertanyaan hasil tambah awalan dan kemas kini elemen tunggal
5.Teori graf

Jawapan: k = 12

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Sisi pokok rentang

14 − 1 = 13

Sisi untuk dibuang

k = 25 − 13 = 12

Jawapan

k = 12
6.Teori graf

Jawapan: sisi DF

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Algoritma Kruskal

1. BC (4)
2. GD (5)
3. DF (6)
4. GC (7)
5. EF (9)
6. AC (18)

nombor sisi 3

DF

Jawapan

sisi DF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms