Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Apakah penyelesaian hubungan jadi semula T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Bagaimanakah algoritma Bellman–Ford mengesan kitaran berpemberat negatif yang boleh dicapai dari sumber?

  1. AIa menyemak sama ada mana-mana sisi mempunyai pemberat negatif
  2. BIa menjalankan algoritma Dijkstra dua kali dan membandingkan kedua-dua hasil jarak
  3. CSelepas V − 1 pusingan, ia menyemak sama ada mana-mana sisi masih boleh dilonggarkan
  4. DIa mengira kitaran dengan carian pertama dalam
3.Struktur dataSederhana

Aplikasi memerlukan carian pantas dan juga perlu menyenaraikan kunci dalam susunan tersusun dan menjawab pertanyaan julat. Struktur manakah yang paling sesuai?

  1. ASenarai berpaut tidak tersusun
  2. BJadual cincang
  3. CTindanan
  4. DPokok carian binari seimbang
4.Struktur dataSukar

Tatasusunan dinamik berganda apabila penuh. Mengapakah banyak pelaksanaan mengecilkannya hanya apabila ia suku penuh, bukan separuh penuh?

  1. AKerana pengalokasi memori hanya boleh melepaskan memori dalam suku blok
  2. BUntuk mengelak perubahan saiz berulang apabila push dan pop berselang-seli berhampiran sempadan
  3. CKerana membahagi dua pada separuh akan menghilangkan elemen
  4. DUntuk mengekalkan tatasusunan tersusun
5.Teori grafSederhana

Berapa banyak litar Hamilton H yang berbeza pada graf lengkap K4? Litar yang hanya berbeza pada bucu permulaan atau arah dikira sama.

K4
H =
6.Teori grafSukar
95431111014ABCDEF

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(D) laluan terpendek dari A ke D dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: D
d(D) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · O(n)

Mengapa ini jawapannya

Terdapat n peringkat dengan kerja malar pada setiap satu, seperti jumlah rekursif tatasusunan.

Jawapan

D · O(n)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · Selepas V − 1 pusingan, ia menyemak sama ada mana-mana sisi masih boleh dilonggarkan

Mengapa ini jawapannya

Semua jarak terpendek sebenar ditemui dalam V − 1 pusingan; jika sesuatu sisi masih boleh diperbaiki, kitaran negatif mesti wujud.

Jawapan

C · Selepas V − 1 pusingan, ia menyemak sama ada mana-mana sisi masih boleh dilonggarkan
3.Struktur data

Jawapan: D · Pokok carian binari seimbang

Mengapa ini jawapannya

BST seimbang memberikan carian O(log n) dan mengekalkan kunci tersusun, jadi traversal in-order dan pertanyaan julat mudah; jadual cincang menyebarkan kunci.

Jawapan

D · Pokok carian binari seimbang
4.Struktur data

Jawapan: B · Untuk mengelak perubahan saiz berulang apabila push dan pop berselang-seli berhampiran sempadan

Mengapa ini jawapannya

Mengecil pada separuh boleh mencetuskan perubahan saiz pada setiap operasi dalam urutan sedemikian; jurang antara 1/4 dan penuh mengekalkan kos teramortisasi O(1).

Jawapan

B · Untuk mengelak perubahan saiz berulang apabila push dan pop berselang-seli berhampiran sempadan
5.Teori graf

Jawapan: H = 3

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Kira

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Jawapan

H = 3
6.Teori graf

Jawapan: d(D) = 9

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 9, C: 5
C (5): E: 8
E (8): D: 9, F: 18
B (9)
D (9)
F (18)

Laluan terpendek

A → C → E → D
d(D) = 9

Jawapan

d(D) = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms