Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Anda mengisih tatasusunan n elemen sekali dan kemudian menjawab k pertanyaan keahlian dengan carian binari. Apakah jumlah kosnya?

  1. AO(nk)
  2. BO(n + k)
  3. CO(n log n + k log n)
  4. DO(k n log n)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Apakah yang dibuktikan oleh teorem Cook–Levin?

  1. AP tidak sama dengan NP
  2. BMasalah kebolehpuasan Boolean (SAT) ialah NP-lengkap
  3. CSetiap masalah NP boleh diselesaikan dalam masa eksponen
  4. DMasalah penghentian tidak boleh diputuskan
3.Struktur dataSederhana

Struktur data manakah yang digunakan untuk menyemak sama ada kurungan dalam "{[()]}" seimbang?

  1. ATindanan (stack)
  2. BPokok carian binari
  3. CBaris gilir (queue)
  4. DJadual cincang
4.Struktur dataSukar

Kerumitan masa decrease-key dalam timbunan binari (diberi kedudukan elemen) ialah:

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
5.Teori grafSederhana
ABCDELitar EulerLaluan Euler, tiada litartiada kedua-duanya

Adakah graf bersambung itu mempunyai litar Euler, laluan Euler yang bukan litar, atau tiada kedua-duanya? Klik jawapan anda.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Litar Euler
  2. 2Laluan Euler, tiada litar
  3. 3tiada kedua-duanya
6.Teori grafSukar
12541313312412ABCDEFG

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · O(n log n + k log n)

Mengapa ini jawapannya

Pengisihan berkos O(n log n) dan setiap pertanyaan O(log n); ini mengatasi k imbasan linear (O(nk)) apabila k besar.

Jawapan

C · O(n log n + k log n)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: B · Masalah kebolehpuasan Boolean (SAT) ialah NP-lengkap

Mengapa ini jawapannya

Cook dan Levin menunjukkan secara bebas bahawa setiap masalah dalam NP boleh diturunkan kepada SAT dalam masa polinomial, jadi SAT ialah masalah NP-lengkap pertama yang diketahui.

Jawapan

B · Masalah kebolehpuasan Boolean (SAT) ialah NP-lengkap
3.Struktur data

Jawapan: A · Tindanan (stack)

Mengapa ini jawapannya

Push setiap kurungan pembuka dan pop apabila kurungan penutup muncul; ia mesti sepadan dengan kurungan yang di-pop dan tindanan mesti kosong pada akhirnya.

Jawapan

A · Tindanan (stack)
4.Struktur data

Jawapan: C · O(log n)

Mengapa ini jawapannya

Selepas mengurangkan kunci, elemen bergerak ke atas paling banyak setinggi timbunan. Timbunan Fibonacci mencapai decrease-key O(1) teramortisasi.

Jawapan

C · O(log n)
5.Teori graf

Jawapan: Laluan Euler, tiada litar

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Darjah

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Bucu ganjil

C, D → 2
Laluan Euler, tiada litar

Jawapan

Laluan Euler, tiada litar

Laluan Euler bermula pada satu bucu ganjil dan berakhir pada bucu ganjil yang lain.

6.Teori graf

Jawapan: d(F) = 21

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 12, C: 5
C (5): B: 9, E: 8, G: 17
E (8): F: 21
B (9): D: 10, G: 12
D (10)
G (12)
F (21)

Laluan terpendek

A → C → E → F
d(F) = 21

Jawapan

d(F) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms