Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Anda mengisih tatasusunan n elemen sekali dan kemudian menjawab k pertanyaan keahlian dengan carian binari. Apakah jumlah kosnya?

  1. AO(nk)
  2. BO(k n log n)
  3. CO(n log n + k log n)
  4. DO(n + k)
2.Algoritma & kerumitanSukar

Mengapakah sebarang carian berasaskan perbandingan dalam tatasusunan tersusun memerlukan Ω(log n) perbandingan dalam kes terburuk?

  1. ACarian binari ialah satu-satunya algoritma yang mungkin, dan ia memerlukan log₂ n perbandingan
  2. BSetiap elemen mesti dibandingkan sekurang-kurangnya sekali
  3. CPokok keputusan dengan n kemungkinan hasil mesti mempunyai kedalaman sekurang-kurangnya log₂ n
  4. DPerbandingan mengambil masa logaritma setiap satu
3.Struktur dataSederhana

Mengapakah timbunan binari boleh disimpan dalam tatasusunan tanpa sebarang penuding?

  1. ATimbunan tidak pernah mengandungi lebih daripada 100 elemen
  2. BSemua kunci dalam timbunan adalah sama
  3. CIa pokok binari lengkap, jadi kedudukan mengikut formula indeks yang mudah
  4. DTatasusunan secara automatik mengekalkan kunci dalam susunan tersusun, jadi tiada penuding diperlukan
4.Struktur dataSukar

Pasangan traversal manakah yang sentiasa menentukan satu pokok binari yang unik dengan kunci yang berbeza?

  1. APreorder dan inorder
  2. BPreorder sahaja
  3. CLevel-order sahaja
  4. DPreorder dan postorder
5.Teori grafSederhana

Sebuah pokok mempunyai 2 bucu berdarjah 4, 3 bucu berdarjah 5, dan semua bucu lainnya ialah daun (berdarjah 1). Berapa banyak daun L yang ada padanya?

2 × deg 43 × deg 5
L =
6.Teori grafSukar
1410151421157314ABCDEFG

Gunakan algoritma Dijkstra untuk mencari panjang d(F) laluan terpendek dari A ke F dalam graf berpemberat.

mula: Aakhir: F
d(F) =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · O(n log n + k log n)

Mengapa ini jawapannya

Pengisihan berkos O(n log n) dan setiap pertanyaan O(log n); ini mengatasi k imbasan linear (O(nk)) apabila k besar.

Jawapan

C · O(n log n + k log n)
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · Pokok keputusan dengan n kemungkinan hasil mesti mempunyai kedalaman sekurang-kurangnya log₂ n

Mengapa ini jawapannya

Setiap perbandingan paling banyak membahagi dua set kemungkinan yang tinggal, jadi membezakan n kedudukan memerlukan sekurang-kurangnya log₂ n perbandingan.

Jawapan

C · Pokok keputusan dengan n kemungkinan hasil mesti mempunyai kedalaman sekurang-kurangnya log₂ n
3.Struktur data

Jawapan: C · Ia pokok binari lengkap, jadi kedudukan mengikut formula indeks yang mudah

Mengapa ini jawapannya

Kelengkapan bermaksud tiada jurang, jadi anak bagi indeks i sentiasa berada pada 2i + 1 dan 2i + 2.

Jawapan

C · Ia pokok binari lengkap, jadi kedudukan mengikut formula indeks yang mudah
4.Struktur data

Jawapan: A · Preorder dan inorder

Mengapa ini jawapannya

Preorder memberikan akar, dan kedudukannya dalam jujukan inorder membahagikan subpokok kiri dan kanan; preorder dengan postorder adalah kabur apabila nod mempunyai satu anak.

Jawapan

A · Preorder dan inorder
5.Teori graf

Jawapan: L = 15

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Lema jabat tangan untuk pokok

L + 23 = 2(L + 5) − 2
L = 15

Jawapan

L = 15

Jalan pintas: L = 2 + Σ (d − 2) ke atas bucu berdarjah d ≥ 3.

6.Teori graf

Jawapan: d(F) = 23

Laluan terpendek dan pokok rentang: algoritma Dijkstra menetapkan satu bucu setiap pusingan: bucu tidak tetap yang berjarak sementara paling kecil. Jaraknya kemudian muktamad, dan setiap jiran v mendapat d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algoritma Kruskal membina pokok rentang minimum dengan mengambil sisi dari ringan ke berat dan melangkau sebarang sisi yang akan menutup kitaran; algoritma Prim menumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan dengan sentiasa menambah sisi teringan yang keluar daripadanya. Pokok rentang n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Dijkstra pusingan demi pusingan

Setiap baris: bucu yang ditetapkan, jarak muktamadnya, dan jiran yang jaraknya bertambah baik.

A (0): B: 14
B (14): C: 24, D: 29, G: 19
G (19): D: 22, E: 33
D (22): E: 24, F: 23
F (23)
C (24)
E (24)

Laluan terpendek

A → B → G → D → F
d(F) = 23

Jawapan

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms