Struktur Data dan Algoritma: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 6 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Teori graf

Lema jabat tangan
Σ deg(v) = 2|E|
Graf lengkap
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf sekata
|E| = n·k/2
Pokok dan hutan
|E| = n − 1, |E| = n − c
Daun sesebuah pokok
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
litar: semua darjah genap; laluan: tepat 2 darjah ganjil
Litar Hamilton dalam Kn
(n − 1)!/2
Kemas kini Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Jalan sepanjang L
(Mᴸ)ij

Kaedah

  1. Tulis darjah setiap bucu; jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi.
  2. Untuk soalan Euler, semak bahawa graf itu bersambung dan kira bucu yang berdarjah ganjil.
  3. Untuk pokok, gunakan n − 1 sisi dan lema jabat tangan.
  4. Untuk Dijkstra, simpan jadual jarak sementara dan tetapkan bucu tidak tetap yang paling kecil dalam setiap pusingan.
  5. Untuk pokok rentang minimum, isih sisi mengikut berat dan langkau setiap sisi yang menutup satu kitaran (Kruskal), atau tumbuhkan satu pokok daripada bucu permulaan (Prim).

2Soalan latihan

1.Algoritma & kerumitanSederhana

Algoritma manakah yang mencari laluan terpendek dari satu sumber dalam graf dengan pemberat sisi tidak negatif?

  1. AAlgoritma Kruskal
  2. BCarian pertama dalam
  3. CAlgoritma Dijkstra
  4. DBellman–Ford diperlukan dalam semua kes
2.Algoritma & kerumitanSukar

Pendaraban Karatsuba memenuhi T(n) = 3T(n/2) + O(n). Apakah penyelesaiannya?

  1. AΘ(n3)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(nlog₂ 3), kira-kira n1.585
3.Struktur dataSederhana

Apakah yang benar tentang matriks bersebelahan bagi graf tidak berarah?

  1. AIa sentiasa segi tiga atas
  2. BIa simetri pada pepenjuru utama
  3. CPepenjuru utamanya sentiasa mengandungi satu
  4. DSetiap baris mempunyai tepat satu 1
4.Struktur dataSukar

Objek disimpan sebagai kunci dalam peta cincang, kemudian medan yang digunakan oleh fungsi cincangnya diubah. Apakah kesan yang mungkin?

  1. APeta secara automatik memindahkan kunci ke baldi barunya
  2. BTiada apa-apa berubah, kerana cincang sesuatu kunci dikira hanya sekali apabila program bermula
  3. CPeta melontar ralat pada saat medan berubah
  4. DMencari objek itu mungkin gagal kerana ia berada dalam baldi untuk cincang lamanya
5.Teori grafSederhana

Graf bersambung mempunyai 16 bucu dan 24 sisi. Berapa banyak sisi k yang mesti dibuang untuk meninggalkan pokok rentang?

|V| = 16|E| = 24
k =
6.Teori grafSukar
ABCDE

Berapa banyak jalan sepanjang 3 dari C ke A? Jalan boleh mengulang bucu dan sisi. Panggil nombor ini N.

M = matriks kejirananL = 3
N =

3Larutan

1.Algoritma & kerumitan

Jawapan: C · Algoritma Dijkstra

Mengapa ini jawapannya

Algoritma Dijkstra berfungsi dengan pemberat tidak negatif; Bellman–Ford mengendalikan pemberat negatif; Kruskal membina pokok rentang minimum.

Jawapan

C · Algoritma Dijkstra
2.Algoritma & kerumitan

Jawapan: D · Θ(nlog₂ 3), kira-kira n1.585

Mengapa ini jawapannya

Oleh sebab log₂ 3 ≈ 1.585 > 1, daun mendominasi mengikut teorem induk, mengatasi kaedah buku sekolah O(n²).

Jawapan

D · Θ(nlog₂ 3), kira-kira n1.585
3.Struktur data

Jawapan: B · Ia simetri pada pepenjuru utama

Mengapa ini jawapannya

Dalam graf tidak berarah sisi {u, v} bermaksud kedua-dua M[u][v] dan M[v][u] ditetapkan, jadi matriks sama dengan transposnya.

Jawapan

B · Ia simetri pada pepenjuru utama
4.Struktur data

Jawapan: D · Mencari objek itu mungkin gagal kerana ia berada dalam baldi untuk cincang lamanya

Mengapa ini jawapannya

Lokasi kunci dipilih daripada cincang lamanya; dengan cincang baharu, carian mencari baldi yang salah, jadi kunci patut tidak boleh diubah.

Jawapan

D · Mencari objek itu mungkin gagal kerana ia berada dalam baldi untuk cincang lamanya
5.Teori graf

Jawapan: k = 9

Euler, Hamilton dan pokok: graf bersambung mempunyai litar Euler (setiap sisi sekali, kembali ke permulaan) apabila setiap bucu berdarjah genap, dan laluan Euler yang bukan litar apabila tepat dua bucu berdarjah ganjil; laluan itu kemudian bermula dari satu bucu ganjil ke bucu ganjil yang lain. Litar Hamilton melawat setiap bucu sekali; Kn mempunyai (n − 1)!/2 daripadanya. Pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi, dan graf bersambung dengan m sisi mengekalkan pokok rentang selepas membuang m − n + 1 sisi.

Sisi pokok rentang

16 − 1 = 15

Sisi untuk dibuang

k = 24 − 15 = 9

Jawapan

k = 9
6.Teori graf

Jawapan: N = 5

Darjah: darjah sesuatu bucu ialah bilangan sisi yang bertemu padanya. Setiap sisi mempunyai dua hujung, maka jumlah darjah ialah dua kali bilangan sisi: Σ deg(v) = 2|E| (lema jabat tangan). Bilangan bucu berdarjah ganjil oleh itu genap. Kn mempunyai n(n − 1)/2 sisi, graf k-sekata pada n bucu mempunyai nk/2, dan pokok pada n bucu mempunyai n − 1 sisi.

Matriks kejiranan

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Satu langkah lagi

(M³)CA = 1·0 + 2·1 + 3·1 + 2·0 + 1·0 = 5

Jawapan

N = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms