Persamaan Pembezaan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kaedah berangka

Pembahagi dua: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Had ralat trapezium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Kaedah

Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.

2Soalan latihan

1.Persamaan pembezaanSederhana

Selesaikan y″ + 4y′ + 4y = 0 dengan y(0) = 2 dan y′(0) = 4. Cari y(1).

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 2y′(0) = 4

y(1) =

2.Persamaan pembezaanSukar

Selesaikan y′ + 3y = 9e^−2t dengan y(0) = 0. Cari y(1.5).

y′ + 3y = 9e^−2ty(0) = 0

y(1.5) =

3.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀² 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 2]

I =

4.KamiranSukar

Cari luas A kawasan yang dikelilingi oleh y = 0.5x² dan y = 3x.

y = 0.5x²y = 3x

A =

5.TerbitanSederhana

Biar f(x) = ln(3x² + 1). Cari f′(3).

f(x) = ln(3x² + 1)x = 3

f′(3) =

6.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = 0.5x² + 4 pada x = −1 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = 0.5x² + 4x = −1

b =

7.Kaedah berangkaSederhana

Anggarkan ∫₀³ sin x dx dengan petua trapezium, n = 2, dan bandingkan dengan nilai tepat. Cari ralat mutlak |E| = |T − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 3]n = 2

|E| =

8.Kaedah berangkaSukar

Gunakan kaedah Euler dengan h = 0.1 untuk y′ = e^−ty, y(0) = 0 untuk menganggar y₄ ≈ y(0.4).

y′ = e^−tyy(0) = 0h = 0.1

y₄ =

3Larutan

1.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(1) = 1.353

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca berganda

(r + 2)² = 0 → r = −2

Pemalar

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 2A → B = 4 + 4 = 8

Nilaikan

y(1) = (2 + 8·1)·e⁻² = 1.353

Jawapan

y(1) = 1.353

2.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(1.5) = 0.3481

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Faktor pengamiran

μ = e^3t

(e^3ty)′ = 9e^t

Penyelesaian am

y = 9/1·e^−2t + C·e^−3t = 9·e^−2t + C·e^−3t

Syarat awal

0 = 9 + C → C = −9

Nilaikan

y(1.5) = 9·0.04979 + (−9)·0.01111 = 0.3481

Jawapan

y(1.5) = 0.3481

3.Kamiran

Jawapan: I = 41.33

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Penggantian

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u² du

Kamirkan dan nilaikan

I = [u³/3]₁⁵ = (125 − 1)/3 = 41.33

Jawapan

I = 41.33

4.Kamiran

Jawapan: A = 18

Titik persilangan

0.5x² = 3x → x = 0, x = 6

Kamirkan atas tolak bawah

A = [1.5x² − 0.1667x³]₀⁶ = 18

Jawapan

A = 18

5.Terbitan

Jawapan: f′(3) = 0.6429

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua rantai untuk logaritma

f′(x) = 6x/(3x² + 1)

Gantikan

f′(3) = 18/28 = 0.6429

Jawapan

f′(3) = 0.6429

6.Terbitan

Jawapan: b = 3.5

Titik dan kecerunan

f(−1) = 4.5

f′(x) = x → f′(−1) = −1

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 4.5 − (−1)·(−1) = 3.5

Jawapan

b = 3.5

7.Kaedah berangka

Jawapan: |E| = 0.3879

Pengamiran berangka: bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀ … xₙ. Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Ralat trapezium mengecil seperti h² (had (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, maka Simpson biasanya jauh lebih tepat untuk nod yang sama.

Nilai tepat

I = 1.989992

Petua trapezium

T = (1.5/2)·(0 + 2·0.997495 + 0.14112) = 1.602082

Ralat

|E| = |1.602082 − 1.989992| = 0.3879

Jawapan

|E| = 0.3879

Ralat relatif: 19.49%.

8.Kaedah berangka

Jawapan: y₄ = 0.3866

Penyelesaian berangka bagi y′ = f(t, y): kaedah Euler melangkah di sepanjang cerun pada permulaan setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) mengambil purata cerun pada permulaan dan pada ramalan Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat cerun: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Ralat global Euler berkadar dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Langkah Euler

y₁ = 0 + 0.1·(1) = 0.1

y₂ = 0.1 + 0.1·(0.99005) = 0.199005

y₃ = 0.199005 + 0.1·(0.960981) = 0.295103

y₄ = 0.295103 + 0.1·(0.915275) = 0.386631

Graf

y₄ = 0.3866

Jawapan

y₄ = 0.3866

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations