Persamaan Pembezaan: soalan latihan dan soalan peperiksaan

Persamaan pembezaan peringkat pertama dan aplikasinya: pertumbuhan dan pereputan, hukum penyejukan Newton, masalah campuran dan persamaan linear dengan faktor pengamiran, serta kaedah Euler dan Heun untuk persamaan tanpa penyelesaian berbentuk rumus.

Berlatih kursus ini secara percuma Berlatih kursus ini Ambil peperiksaan percubaan5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.

Pek ulang kaji kilat (PDF)Lembaran formula, langkah kaedah dan soalan latihan dengan penyelesaian penuh, sedia untuk dicetak.

Topik dalam kursus ini

Tip peperiksaan untuk Persamaan Pembezaan

Kenal pasti jenisnya dahulu: boleh pisah, linear, atau model piawai seperti pertumbuhan atau penyejukan.
Gunakan syarat awal untuk mencari pemalar pada akhirnya.
Semak jawapan dengan menggantikannya kembali ke dalam persamaan.

Contoh penyelesaian

Persamaan pembezaanMudah

Bagi persamaan y″ + 4y′ + 3y = 0, cari punca r persamaan ciri yang paling hampir dengan sifar. Ia menentukan betapa perlahannya penyelesaian susut.

y″ + 4y′ + 3y = 0

Cari nilai r

Tunjukkan petunjuk

Gantikan y = e^rt.
r² + 4r + 3 = 0.
Faktorkannya atau gunakan formula kuadratik.

Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Persamaan cirian

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

Punca

r = −1, r = −3

paling hampir dengan sifar: r = −1

Jawapan

r = −1

Penyelesaian am ialah y = A·e^−1t + B·e^−3t.

KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀² x·cos x dx (x dalam radian).

∫₀² x·cos x dx

Cari nilai I

Tunjukkan petunjuk

Ambil u = x dan dv = cos x dx.
v = sin x.
∫x cos x dx = x sin x + cos x.

Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pilih u dan dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Antiterbitan

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Had

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0.4024

Jawapan

I = 0.4024

Cara latihan berfungsi

“Berlatih kursus ini” mencampurkan soalan daripada semua topiknya, seperti peperiksaan sebenar.
Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
Peperiksaan percubaan adalah bermasa dan tanpa petunjuk, dan anda mendapat skor serta semakan penuh pada akhirnya.

Kalkulator untuk kursus ini

Kalkulator separuh hayat dan pereputan eksponen Kalkulator terbitan dengan langkah Kalkulator kamiran (tentu dan tak tentu)

Kursus berkaitan

Matematik Kejuruteraan Soalan latihan AP Calculus Kalkulus 1 Matematik Kejuruteraan 2 Kalkulus 2 Kaedah Berangka Statistik Pengenalan Statistik 2: Inferens Statistik

Berlatih kursus ini secara percuma Berlatih kursus ini Ambil peperiksaan percubaan5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.