Kaedah Berangka: soalan latihan dan soalan peperiksaan

Mengira jawapan yang tiada rumus: punca persamaan dengan pembahagi dua dan Newton–Raphson, interpolasi dalam jadual, pengamiran berangka dengan petua trapezium dan Simpson, serta persamaan pembezaan dengan Euler, Heun dan Runge–Kutta. Peperiksaan meminta beberapa lelaran dalam jadual dan saiz ralat.

Berlatih kursus ini secara percumaBerlatih kursus iniAmbil peperiksaan percubaan5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.

Pek ulang kaji kilat (PDF)Lembaran formula, langkah kaedah dan soalan latihan dengan penyelesaian penuh, sedia untuk dicetak.

Topik dalam kursus ini

  1. Kaedah berangkapunca dan interpolasi · petua trapezium dan Simpson · Euler, Heun dan Runge–Kuttapengiraan
  2. Jujukan & sirisiri aritmetik dan geometri · penumpuan dan siri kuasa · polinomial Taylor dan Maclaurinpengiraan
  3. Matriks & penentupenentu 2×2 · 3×3 dan hasil darab · nilai eigen dan sistempengiraan
  4. Persamaan pembezaanpertumbuhan dan pereputan eksponen · Hukum penyejukan Newton · linear peringkat pertamapengiraan

Tip peperiksaan untuk Kaedah Berangka

  • Simpan sekurang-kurangnya enam angka bererti dalam setiap lelaran dan bundarkan hanya jawapan akhir.
  • Tulis pemberat petua pengamiran di bawah jadual nilai sebelum anda menambah apa-apa.
  • Gunakan polinomial Taylor untuk menerangkan ralat: ralat Euler berkadar dengan h, ralat Simpson dengan h⁴.

Contoh penyelesaian

Kaedah berangkaMudah

Kaedah pembahagi dua bermula pada selang sepanjang 4. Setiap langkah membahagi dua selang itu. Berapa banyak langkah n yang diperlukan sekurang-kurangnya sebelum selang menjadi lebih pendek daripada 0.0001?

b − a = 4ε = 0.0001

Cari nilai n

Tunjukkan petunjuk
  1. Selepas n langkah selang mempunyai panjang (b − a)/2ⁿ.
  2. Selesaikan 4/2ⁿ < 0.0001, maka 2ⁿ > 40000.
  3. n > log₂(40000) = 15.29
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Pencarian punca dan interpolasi: kaedah pembahagi dua mengekalkan selang [a, b] yang f berubah tanda padanya; setiap langkah mengambil titik tengah c = (a + b)/2 dan mengekalkan separuh yang tandanya masih berubah, maka selepas n langkah lebar selang ialah (b − a)/2ⁿ. Newton–Raphson mengikut garis tangen ke paksi: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn); berhampiran punca ringkas ia menggandakan bilangan digit betul bagi setiap langkah. Interpolasi linear antara dua titik jadual: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).

Syarat

4/2ⁿ < 0.0001 → 2ⁿ > 40000

Logaritma

n > ln(40000)/ln 2 = 15.29
n = 16

Semakan

2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536

Jawapan

n = 16
Jujukan & siriSederhana
kSn​12345678910S = ?

Cari hasil tambah S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Cari nilai S

Tunjukkan petunjuk
  1. Pecahan separa: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Tulis beberapa sebutan pertama: kebanyakannya saling membatalkan (hasil tambah teleskop).
  3. Yang tinggal ialah (12/3)·(1 + … + 1/3).
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |ak+1/ak|; ujian punca: L = lim |ak|1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σck(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.

Pecahan separa

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Batal

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7.333

Jawapan

S = 7.333

Cara latihan berfungsi

  • “Berlatih kursus ini” mencampurkan soalan daripada semua topiknya, seperti peperiksaan sebenar.
  • Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
  • Peperiksaan percubaan adalah bermasa dan tanpa petunjuk, dan anda mendapat skor serta semakan penuh pada akhirnya.

Kalkulator untuk kursus ini

Kalkulator penentu dan songsangan matriksKalkulator nilai eigen dan vektor eigenKalkulator separuh hayat dan pereputan eksponenPenyelesai sistem persamaan linear (2×2 dan 3×3)

Kursus berkaitan

Matematik Kejuruteraan 2Matematik KejuruteraanPersamaan PembezaanKalkulus 2Soalan latihan AP CalculusKalkulus 1Statistik PengenalanStatistik 2: Inferens Statistik
Berlatih kursus ini secara percumaBerlatih kursus iniAmbil peperiksaan percubaan5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.