Matriks & penentu: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah

Soalan latihan Matriks & penentu percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: penentu 2×2, 3×3 dan hasil darab, nilai eigen dan sistem.

Soalan latihan percumaMudah
A =9−6−8−5

Cari penentu det A bagi matriks A yang ditunjukkan.

A = [9 −6; −8 −5]

Jawapan tepat: nombor bulat, tanpa pembundaran.

Soalan seterusnya →
Berlatih Matriks & penentu secara percumaBerlatih Matriks & penentu sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.

Apa yang anda latih

  1. Mudahpenentu 2×2
  2. Sederhana3×3 dan hasil darab
  3. Sukarnilai eigen dan sistem

Formula utama

penentu 2×2
det = ad − bc
Songsangan 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Petua Cramer
xi = det(Ai)/det(A)

Pelajari Matriks & penentu dari awal

1Matriks dan penentu 2×2

Matriks ialah jadual nombor dalam baris dan lajur. Matriks dengan 2 baris dan 3 lajur dipanggil matriks 2×3: baris dahulu, kemudian lajur.

Jurutera menggunakan matriks untuk menulis banyak persamaan sekali gus. Sistem 2x + y = 5 dan x − y = 1 disimpan sebagai matriks [2 1; 1 −1] bagi pekalinya.

Matriks segi empat sama mempunyai satu nombor khas, penentunya, ditulis det A. Bagi matriks 2×2 ia ialah hasil darab satu pepenjuru tolak hasil darab yang satu lagi.

abcdA =+ad−bc
det A = a·d − b·c

Bagi [3 1; 2 4] penentunya ialah 3·4 − 1·2 = 10.

Jika det A = 0, matriks itu tiada songsangan, dan sistem persamaan tiada penyelesaian tunggal.

Semakan kendiri Apakah penentu bagi [4 2; 3 5]? (Baris 1 ialah 4 2, baris 2 ialah 3 5.)
  1. 14
  2. 26
  3. 9
  4. −14

Jawapan: 14. a·d − b·c = 4·5 − 2·3 = 20 − 6 = 14. Menambah kedua-dua hasil darab memberi 26, dan mengambil bc − ad memberi −14.

2Penentu 3×3 dan hasil darab

Bagi matriks 3×3, kembangkan sepanjang baris pertama. Setiap entri didarabkan dengan minornya: penentu 2×2 yang tinggal apabila anda memangkas baris dan lajur entri itu.

det A = a11·M11 − a12·M12 + a13·M13

Tanda bergerak + − + sepanjang baris pertama. Corak tanda ini ialah bahagian yang paling mudah dilupakan.

Hasil darab matriks AB dibina daripada baris A dan lajur B. Entri pada baris i, lajur j ialah baris i bagi A darab lajur j bagi B: darabkan pasangan dan tambah.

[1 2; 3 4] · [5; 6] = [1·5 + 2·6; 3·5 + 4·6] = [17; 39]

Hasil darab hanya wujud apabila A mempunyai bilangan lajur yang sama dengan bilangan baris B. Secara am AB tidak sama dengan BA.

Semakan kendiri A = [2 1; 0 3] dan B = [1 4; 2 1]. Apakah entri pada baris 1, lajur 2 bagi AB?
  1. 13
  2. 4
  3. 6
  4. 9

Jawapan: 9. Baris 1 bagi A ialah (2, 1) dan lajur 2 bagi B ialah (4, 1): 2·4 + 1·1 = 9. Mendarabkan hanya entri yang sepadan memberi 1·4 = 4, dan 13 ialah entri bagi BA.

3Nilai eigen dan sistem

Nilai eigen λ bagi A ialah nombor yang A·v = λ·v untuk suatu vektor v ≠ 0. Matriks hanya meregangkan vektor itu, ia tidak memutarnya.

Anda mencari nilai eigen daripada persamaan cirian. Di sini I ialah matriks identiti [1 0; 0 1].

det(A − λI) = 0

Bagi matriks 2×2 ini menjadi kuadratik. Pekali tengahnya ialah surih a + d, dan pemalarnya ialah det A:

λ² − (a + d)·λ + (ad − bc) = 0

Bagi [4 1; 2 3]: λ² − 7λ + 10 = 0, maka (λ − 2)(λ − 5) = 0 dan nilai eigennya ialah 2 dan 5.

Petua Cramer menyelesaikan sistem dengan penentu. Gantikan lajur i bagi A dengan sebelah kanan untuk mendapat Ai, kemudian xi = det Ai / det A.

Bagi 2x + y = 5 dan x − y = 1: det A = −3 dan det Ax = 5·(−1) − 1·1 = −6, maka x = −6/−3 = 2.

Semakan kendiri Apakah nilai eigen yang lebih besar bagi [2 1; 1 2]?
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

Jawapan: 3. λ² − 4λ + 3 = 0 memberi (λ − 1)(λ − 3) = 0, maka nilai eigennya ialah 1 dan 3. 4 ialah surih, iaitu hasil tambah nilai eigen, bukan salah satu daripadanya.

4Kaedah langkah demi langkah

  1. Salin matriks dengan teliti, termasuk setiap tanda tolak.
  2. Penentu 2×2: ad − bc.
  3. Penentu 3×3: bagi setiap entri baris pertama, pangkas baris dan lajurnya dan cari minor 2×2.
  4. Gabungkan dengan tanda + − +: a11M11 − a12M12 + a13M13.
  5. Nilai eigen: tulis λ² − (a + d)λ + det A = 0 dan selesaikan kuadratik itu.
  6. Semak: baris sifar, atau dua baris yang sama, sentiasa memberi det A = 0.

Petua: kembangkan sepanjang baris atau lajur yang banyak sifar. Setiap entri sifar menjimatkan satu minor.

5Contoh terselesai

Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.

Contoh terselesai

Cari penentu bagi matriks 3×3 A = [2 1 0; 1 3 1; 0 2 4].

1

Minor pertama

210131024A =

Pangkas baris 1 dan lajur 1 bagi entri 2. Yang tinggal ialah [3 1; 2 4].

M11 = 3·4 − 1·2 = 10
2

Minor kedua

210131024A =

Pangkas baris 1 dan lajur 2 bagi entri 1. Yang tinggal ialah [1 1; 0 4].

M12 = 1·4 − 1·0 = 4
3

Minor ketiga

Entri a13 ialah 0, maka sebutannya 0 walau apa pun minornya. Anda boleh melangkaunya.

4

Gabungkan dengan + − +

det A = 2·10 − 1·4 + 0 = 20 − 4 = 16
5

Semak jawapan

Bagi matriks 3×3, petua Sarrus memberi nilai yang sama: tiga hasil darab pepenjuru “ke bawah” tolak tiga hasil darab pepenjuru “ke atas”.

(2·3·4 + 1·1·0 + 0·1·2) − (0·3·0 + 2·1·2 + 1·1·4) = 24 − 8 = 16
Jawapan

det A = 16

6Kesilapan lazim

  • Terlupa tanda tolak bagi sebutan tengah dalam kembangan 3×3.
  • Mengira bc − ad dan bukannya ad − bc.
  • Hilang tanda tolak apabila entri negatif: −2 · −3 ialah +6.
  • Mendarabkan matriks entri demi entri dan bukannya baris darab lajur.
  • Mengambil surih atau entri pepenjuru sebagai nilai eigen dan bukannya menyelesaikan persamaan cirian.
Semakan kendiri Apakah penentu bagi [1 2 0; 3 1 0; 0 0 2]?
  1. 10
  2. 14
  3. −10
  4. −14

Jawapan: −10. det = 1·(1·2 − 0) − 2·(3·2 − 0) + 0 = 2 − 12 = −10. Menggunakan + untuk sebutan tengah memberi 2 + 12 = 14, kesilapan yang paling biasa.

7Rupa soalan peperiksaan

  • Mudah: penentu matriks 2×2, sering dengan entri negatif. Gunakan ad − bc.
  • Sederhana: penentu 3×3 atau hasil darab matriks. Kembangkan sepanjang baris pertama dengan + − +.
  • Sukar: nilai eigen matriks 2×2, atau satu anu bagi sistem 2×2 dengan petua Cramer.

Semakan pantas untuk nilai eigen: ia mesti berjumlah surih a + d dan hasil darabnya det A.

Belajar langkah demi langkah dalam aplikasiBelajar langkah demi langkah dalam aplikasi

Contoh penyelesaian

Contoh 1Mudah
A =1−8−10

Cari penentu det A bagi matriks A yang ditunjukkan.

A = [1 −8; −1 0]

Cari nilai det A

Tunjukkan petunjuk
  1. Bagi matriks 2×2, det = ad − bc.
  2. a dan d berada pada pepenjuru utama, b dan c pada pepenjuru yang lain.
  3. ad = 0.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Hasil darab pepenjuru

ad − bc = 1·0 − (−8)·(−1) = 0 − 8 = −8

Jawapan

det A = −8
Contoh 2Sederhana
A =−153−5−1−3−513

Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [−1 5 3; −5 −1 −3; −5 1 3]

Cari nilai det A

Tunjukkan petunjuk
  1. Kembangkan sepanjang baris pertama dengan tanda + − +.
  2. Setiap sebutan ialah satu unsur didarab penentu 2×2 yang tinggal apabila anda membuang baris dan lajurnya.
  3. minor: 0, −30, −10.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = 0, M₁₂ = −30, M₁₃ = −10

Pengembangan kofaktor

det A = (−1)·0 − 5·(−30) + 3·(−10) = 120

Jawapan

det A = 120
Contoh 3Sukar
A =−3−5−2−4b =19

Selesaikan sistem −3x − 5y = 1 dan −2x − 4y = 9. Cari x.

−3x − 5y = 1−2x − 4y = 9

Cari nilai x

Tunjukkan petunjuk
  1. Petua Cramer: x = det(Aₓ)/det(A), dengan Aₓ mempunyai lajur pertama digantikan dengan sebelah kanan.
  2. det A = 2.
  3. det Aₓ = 41.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Penentu matriks pekali

det A = (−3)·(−4) − (−5)·(−2) = 2

Gantikan lajur x

det Aₓ = 1·(−4) − (−5)·9 = 41
x = 41/2 = 20.5

Jawapan

x = 20.5
y = −12.5

Soalan dan jawapan

Apakah Matriks & penentu?

Jurutera menggunakan matriks untuk menulis banyak persamaan sekali gus. Sistem 2x + y = 5 dan x − y = 1 disimpan sebagai matriks [2 1; 1 −1] bagi pekalinya.

Matriks segi empat sama mempunyai satu nombor khas, penentunya, ditulis det A. Bagi matriks 2×2 ia ialah hasil darab satu pepenjuru tolak hasil darab yang satu lagi.

Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Matriks & penentu langkah demi langkah?

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Apakah yang diliputi oleh latihan Matriks & penentu?
  • Mudah: penentu 2×2
  • Sederhana: 3×3 dan hasil darab
  • Sukar: nilai eigen dan sistem

Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.

Cara latihan berfungsi

  • Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
  • Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.

Kalkulator

Kalkulator penentu dan songsangan matriksKalkulator nilai eigen dan vektor eigenPenyelesai sistem persamaan linear (2×2 dan 3×3)

Kursus dengan topik ini

Matematik KejuruteraanMatematik Kejuruteraan 2Kaedah Berangka

Lebih banyak topik dalam Matematik & statistik

HadTerbitanPengoptimumanKamiranJujukan & siriKalkulus multipemboleh ubahPersamaan pembezaanNombor kompleksKaedah berangkaVektor: hasil darab titik & silangLogik proposisi & pembuktianSet, hubungan & fungsiTeori grafTeori nombor & aritmetik moduloKebarangkalianStatistik perihalanTaburan normalSelang keyakinanUjian hipotesis & selang keyakinanRegresi linear & korelasiUjian khi kuasa dua

Lembaran kerja boleh cetak

Lembaran kerja Matriks & penentu dengan jawapan
Berlatih Matriks & penentu secara percumaBerlatih Matriks & penentu sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.