Kebarangkalian: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah

Soalan latihan Kebarangkalian percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: hasil yang sama mungkin, pengiraan dan pelengkap, taburan binomial.

Soalan latihan percumaMudah
jumlah ≥ 4dadu 1dadu 2112345672234567833456789445678910556789101166789101112P = ?

Dua dadu adil digolek. Berapakah kebarangkalian P hasil tambahnya sekurang-kurangnya 4?

2 dadu≥ 4

Berikan kebarangkalian sebagai perpuluhan antara 0 dan 1.

Soalan seterusnya →
Berlatih Kebarangkalian secara percumaBerlatih Kebarangkalian sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.

Apa yang anda latih

  1. Mudahhasil yang sama mungkin
  2. Sederhanapengiraan dan pelengkap
  3. Sukartaburan binomial

Formula utama

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Pelajari Kebarangkalian dari awal

1Apakah kebarangkalian

Kebarangkalian ialah nombor antara 0 dan 1 yang menyatakan sejauh mana sesuatu berkemungkinan berlaku. 0 bermaksud ia tidak pernah berlaku, 1 bermaksud ia sentiasa berlaku.

Apabila semua hasil sama berkemungkinan, kirakannya:

P(A) = bilangan kesudahan yang diingini / jumlah bilangan kesudahan

Sebuah beg mengandungi 3 bola merah, 5 biru dan 2 hijau, 10 kesemuanya. Jika anda mengambil satu secara rawak, P(biru) = 5/10 = 0.5.

Dadu yang adil mempunyai 6 muka, jadi P(enam) = 1/6 ≈ 0.167 dan P(genap) = 3/6 = 0.5.

Kebarangkalian juga boleh ditulis sebagai peratusan: 0.5 ialah 50%. Jawapan peperiksaan biasanya perpuluhan antara 0 dan 1.

Semakan kendiri Sebuah beg mengandungi 2 bola merah, 8 biru dan 4 hijau. Anda mengambil satu secara rawak. Apakah P(merah)?
  1. 2/12 ≈ 0.167
  2. 2/14 ≈ 0.143
  3. 2/8 = 0.25
  4. 2

Jawapan: 2/14 ≈ 0.143. Terdapat 2 + 8 + 4 = 14 bola, dan 2 ialah merah: 2/14 ≈ 0.143. Membahagi dengan 12 hanya mengira bola lain, tetapi jumlahnya mesti termasuk bola merah juga.

2Peraturan untuk menggabungkan peristiwa

  • Pelengkap: P(bukan A) = 1 − P(A). Gunakannya untuk soalan “sekurang-kurangnya satu”: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada).
  • Dan, peristiwa tak bersandar: darab. Dua syiling yang adil memberikan P(dua kepala) = 0.5 · 0.5 = 0.25.
  • Atau: P(A atau B) = P(A) + P(B) − P(A dan B). Tolak pertindihan supaya anda tidak mengiranya dua kali.

Mengambil tanpa pengembalian mengubah beg itu. Selepas anda mengeluarkan satu bola merah, terdapat satu bola merah lebih sedikit dan satu bola lebih sedikit secara keseluruhan.

Dengan 5 bola merah dan 4 biru, P(dua merah) = 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0.278.

Untuk mengira kumpulan di mana susunan tidak penting, gunakan gabungan. Bilangan cara memilih k item daripada n ialah:

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

Di sini n! = n · (n − 1) · … · 1. Jadi C(6, 4) = 720 / (24 · 2) = 15 jawatankuasa yang terdiri daripada 4 orang daripada 6.

Semakan kendiri Sebuah beg mengandungi 5 bola merah dan 4 biru. Anda mengambil dua tanpa memulangkan yang pertama. Apakah P(kedua-duanya merah)?
  1. 0.139
  2. 0.278
  3. 0.309
  4. 0.556

Jawapan: 0.278. 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0.278. Menggunakan 5/9 · 5/9 ≈ 0.309 terlupa bahawa bola merah pertama tidak lagi berada dalam beg.

3Taburan binomial

Sesetengah soalan mengulang percubaan yang sama sebanyak n kali: menguji 5 komponen, meneka 8 jawapan, melambung syiling 3 kali. Setiap percubaan ialah kejayaan dengan kebarangkalian p, secara bebas daripada yang lain.

Bilangan kejayaan X kemudian mengikut taburan binomial:

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
  • pᵏ: k kejayaan.
  • (1 − p)ⁿ⁻ᵏ: n − k kegagalan.
  • C(n, k): bilangan susunan berbeza di mana kejayaan boleh jatuh.

Untuk “paling banyak satu”, tambah P(X = 0) dan P(X = 1). Untuk “sekurang-kurangnya satu”, gunakan 1 − P(X = 0).

Semakan kendiri Anda melambung syiling yang adil 3 kali. Apakah kebarangkalian tepat 2 kepala?
  1. 0.125
  2. 0.25
  3. 0.375
  4. 0.667

Jawapan: 0.375. C(3, 2) · 0.5² · 0.5 = 3 · 0.125 = 0.375. Terlupa C(3, 2) memberikan 0.125: itu hanya satu susunan, seperti HHT, tetapi THH dan HTH juga dikira.

4Kaedah langkah demi langkah

  1. Tuliskan apakah satu hasil dan berapa banyak hasil kesemuanya.
  2. Terjemahkan perkataan: “dan” bermaksud darab, “atau” bermaksud tambah (tolak pertindihan), “bukan” bermaksud 1 − P.
  3. Untuk “sekurang-kurangnya satu”, kira pelengkap “tiada” dahulu.
  4. Tanpa pengembalian: kurangkan kiraan selepas setiap pengambilan. Atau kira dengan gabungan.
  5. Percubaan bebas berulang dengan p tetap: gunakan formula binomial.
  6. Semak bahawa jawapan terletak antara 0 dan 1.

Gambar rajah pokok membantu apabila terdapat beberapa langkah: darab di sepanjang satu cabang, dan tambah cabang yang anda perlukan.

5Contoh terselesai

Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.

Contoh terselesai

Sebuah beg mengandungi 4 bola merah dan 6 biru. Anda mengambil dua bola tanpa memulangkan yang pertama. Apakah kebarangkalian P bahawa sekurang-kurangnya satu daripadanya merah?

1

Gunakan pelengkap

“Sekurang-kurangnya satu merah” mempunyai tiga kes: merah–merah, merah–biru dan biru–merah. Yang bertentangan, “tiada merah”, hanya mempunyai satu kes: biru–biru.

P(sekurang-kurangnya satu merah) = 1 − P(kedua-duanya biru)
2

Pengambilan pertama

Terdapat 6 bola biru daripada 10.

P(pertama biru) = 6/10
3

Pengambilan kedua

Satu bola biru telah tiada, jadi tinggal 5 bola biru daripada 9.

P(kedua-duanya biru) = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 1/3
4/10R3/9R12/906/9B24/906/10B4/9R24/905/9B30/90

Dalam pokok itu, R ialah bola merah dan B bola biru. Cabang yang tebal ialah biru–biru.

4

Ambil pelengkap

P = 1 − 1/3 = 2/3 ≈ 0.667
5

Semak jawapan

Kira dengan gabungan: terdapat C(10, 2) = 45 pasangan, dan C(6, 2) = 15 daripadanya biru–biru. 15/45 = 1/3, sama seperti tadi.

Tiga cabang lain pada pokok itu berjumlah 12/90 + 24/90 + 24/90 = 60/90 = 2/3 juga.

Jawapan

P = 2/3 ≈ 0.667

6Kesilapan lazim

  • Menambah kebarangkalian untuk “sekurang-kurangnya satu” dan bukannya menggunakan 1 − P(tiada).
  • Terlupa mengurangkan kiraan apabila mengambil tanpa pengembalian.
  • Terlupa faktor C(n, k) dalam formula binomial.
  • Membahagi dengan jumlah yang salah, contohnya hanya warna lain.
  • Memberikan kebarangkalian melebihi 1 atau kurang daripada 0. Itu sentiasa tanda kesilapan.
Semakan kendiri Anda menggolek dadu yang adil dua kali. Apakah kebarangkalian sekurang-kurangnya satu enam?
  1. 1/3 ≈ 0.333
  2. 1/36 ≈ 0.028
  3. 11/36 ≈ 0.306
  4. 25/36 ≈ 0.694

Jawapan: 11/36 ≈ 0.306. 1 − P(tiada enam) = 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36. Menambah 1/6 + 1/6 memberikan 1/3, yang mengira kes dua enam sebanyak dua kali.

7Rupa soalan peperiksaan

  • Mudah: hasil sama berkemungkinan. Satu pengambilan daripada beg bola berwarna, atau satu golekan dadu.
  • Sederhana: pengiraan dan pelengkap. Jawatankuasa dengan C(n, k), atau dua pengambilan tanpa pengembalian.
  • Sukar: taburan binomial. Tepat k kejayaan, atau “paling banyak satu” sebagai P(X = 0) + P(X = 1).

Berikan jawapan sebagai perpuluhan antara 0 dan 1, dibundarkan kepada tiga atau empat tempat perpuluhan.

Belajar langkah demi langkah dalam aplikasiBelajar langkah demi langkah dalam aplikasi

Contoh penyelesaian

Contoh 1Mudah
xp(x)1?20.2530.1540.250.15

Jadual memberikan taburan kebarangkalian X, tetapi satu kebarangkalian tiada. Cari P(X = 1).

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): ?, 0.25, 0.15, 0.2, 0.15

Cari nilai P(X = 1)

Tunjukkan petunjuk
  1. Semua kebarangkalian suatu taburan berjumlah 1.
  2. Tambah kebarangkalian yang diketahui.
  3. P = 1 − 0.75.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Hasil tambah kebarangkalian yang diketahui

0.25 + 0.15 + 0.2 + 0.15 = 0.75

Kebarangkalian yang tiada

P(X = 1) = 1 − 0.75 = 0.25

Jawapan

P(X = 1) = 0.25
Contoh 2Sederhana
xp(x)10.1520.3530.0540.350.15μ = 2.95

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.15, 0.35, 0.05, 0.3, 0.15

Cari nilai Var(X)

Tunjukkan petunjuk
  1. μ = Σx·p(x) = 2.95.
  2. Maka E(X²) = Σx²·p(x).
  3. Var(X) = E(X²) − μ².
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 1·0.15 + 2·0.35 + 3·0.05 + 4·0.3 + 5·0.15 = 2.95

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 1·0.15 + 4·0.35 + 9·0.05 + 16·0.3 + 25·0.15 = 10.55

Varians

Var(X) = 10.55 − 2.95² = 1.848

Jawapan

Var(X) = 1.848
Contoh 3Sukar
n = 12, p = 0.3: P(X = 5) = ?k0123456789101112

Satu ujian mempunyai 12 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.3, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 5 jawapan betul?

n = 12p = 0.3k = 5

Cari nilai P

Tunjukkan petunjuk
  1. Ini ialah taburan binomial: bilangan percubaan tak bersandar yang tetap, kebarangkalian kejayaan yang sama.
  2. P(X = k) = C(n, k)·pk·(1 − p)n−k.
  3. C(12, 5) = 792.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomial

P(X = 5) = 792·0.35·0.77 = 792·0.00243·0.08235 = 0.1585

Jawapan

P = 0.1585

Soalan dan jawapan

Apakah Kebarangkalian?

Kebarangkalian ialah nombor antara 0 dan 1 yang menyatakan sejauh mana sesuatu berkemungkinan berlaku. 0 bermaksud ia tidak pernah berlaku, 1 bermaksud ia sentiasa berlaku.

Apabila semua hasil sama berkemungkinan, kirakannya:

Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Kebarangkalian langkah demi langkah?

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Apakah kesilapan lazim dalam Kebarangkalian?
  • Itu hasil tambah kebarangkalian yang diketahui. Yang tiada ialah 1 tolak hasil tambah itu.
  • Nilai-nilai itu tidak sama berkemungkinan: gunakan hakikat bahawa semua kebarangkalian berjumlah 1.
  • E(X²) bukan varians: tolak μ².
Apakah yang diliputi oleh latihan Kebarangkalian?
  • Mudah: hasil yang sama mungkin
  • Sederhana: pengiraan dan pelengkap
  • Sukar: taburan binomial

Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.

Cara latihan berfungsi

  • Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
  • Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.

Topik sebelum dan selepas topik ini

Teruskan dengan

Statistik amalan berasaskan bukti

Kalkulator

Kalkulator taburan binomialKalkulator taburan PoissonKalkulator pilih atur dan gabungan (nPr dan nCr)Kalkulator nilai jangkaan dan varians

Kursus dengan topik ini

Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk PsikologiStatistik PengenalanMatematik KejuruteraanSoalan latihan AP StatisticsLatihan kaedah kuantitatif dan pendapatan tetap CFA Level I

Lebih banyak topik dalam Matematik & statistik

HadTerbitanPengoptimumanKamiranJujukan & siriKalkulus multipemboleh ubahPersamaan pembezaanNombor kompleksKaedah berangkaMatriks & penentuVektor: hasil darab titik & silangLogik proposisi & pembuktianSet, hubungan & fungsiTeori grafTeori nombor & aritmetik moduloStatistik perihalanTaburan normalSelang keyakinanUjian hipotesis & selang keyakinanRegresi linear & korelasiUjian khi kuasa dua

Lembaran kerja boleh cetak

Lembaran kerja Kebarangkalian dengan jawapan
Berlatih Kebarangkalian secara percumaBerlatih Kebarangkalian sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.