Set, hubungan & fungsi: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah

1Set dan operasi set

Set ialah koleksi unsur yang berbeza: A = {1, 2, 3}. Susunan dan pengulangan tidak penting. |A| ialah bilangan unsur, dan U ialah set semesta yang mengandungi segala yang dibincangkan.

• A ∪ B (kesatuan): unsur dalam A atau B atau kedua-duanya.
• A ∩ B (persilangan): unsur dalam kedua-duanya.
• A − B (beza): unsur A yang tidak ada dalam B.
• A′ (pelengkap): unsur U yang tidak ada dalam A.

Dalam gambar rajah Venn, dua bulatan membahagikan U kepada empat kawasan: A sahaja, kedua-duanya, B sahaja, dan tiada satu pun. Setiap ungkapan set ialah kesatuan beberapa kawasan ini, maka anda sentiasa boleh mengiranya kawasan demi kawasan.

Di sini |A| = 12 + 5 = 17, |A ∩ B| = 5, |A ∪ B| = 12 + 5 + 8 = 25 dan |(A ∪ B)′| = 15.

2Mengira dengan rangkuman–penyisihan

Menambah |A| dan |B| mengira pertindihan dua kali, maka tolak sekali:

Untuk tiga set, pertindihan berpasangan ditolak, tetapi kemudian bahagian tengah telah dibuang tiga kali, maka ia ditambah semula:

Dalam soalan cerita biasanya lebih selamat mengisi gambar rajah Venn dari tengah ke luar: mula-mula unsur dalam ketiga-tiga set, kemudian setiap pasangan tolak bahagian tengah, kemudian setiap set tunggal tolak apa yang telah diletakkan.

Dua pengiraan lain kerap muncul: set dengan n unsur mempunyai 2ⁿ subset (set kuasanya 𝒫(A)), dan |A × B| = |A|·|B| pasangan tertib.

3Contoh terselesai

Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.

4Hubungan

Hubungan R pada set X ialah set pasangan tertib (x, y) dengan x dan y dalam X. Apabila dilukis sebagai graf terarah, setiap pasangan ialah anak panah dan (x, x) ialah gelung.

• Refleksif: (x, x) ∈ R untuk setiap x: gelung pada setiap bucu.
• Simetri: (x, y) ∈ R sentiasa disertai (y, x) ∈ R.
• Antisimetri: (x, y) dan (y, x) kedua-duanya dalam R hanya apabila x = y.
• Transitif: (x, y) dan (y, z) dalam R memaksa (x, z) ∈ R.

Hubungan yang refleksif, simetri dan transitif ialah hubungan kesetaraan. Ia membahagikan X kepada kelas terasing, seperti baki 0, 1 dan 2 untuk “x ≡ y (mod 3)”. Kelas dengan s unsur menyumbang s² pasangan tertib.

Untuk menyangkal sesuatu sifat, satu contoh penyangkal sudah memadai; untuk membuktikannya, semak setiap pasangan.

5Fungsi

Fungsi f: A → B memberi setiap unsur A tepat satu imej dalam B.

• Satu-satu (injektif): unsur berbeza mempunyai imej berbeza; tiada unsur B menerima dua anak panah.
• Keseluruhan (surjektif): setiap unsur B menerima sekurang-kurangnya satu anak panah.
• Bijektif: kedua-duanya. Hanya dengan itu f mempunyai songsangan f⁻¹.

Fungsi dalam rajah ialah satu-satu tetapi bukan keseluruhan: d tidak menerima anak panah. Fungsi satu-satu memerlukan |A| ≤ |B| dan fungsi keseluruhan |A| ≥ |B|.

Dengan |A| = m dan |B| = n terdapat nᵐ fungsi dan n!/(n − m)! fungsi satu-satu. Gubahan (g ∘ f)(x) = g(f(x)) menggunakan f dahulu.

6Kesilapan lazim

• Menambah |A| + |B| tanpa menolak pertindihan.
• Terlupa menambah semula bahagian tengah dalam rangkuman–penyisihan tiga set.
• Menulis mⁿ dan bukan nᵐ bagi bilangan fungsi daripada m unsur ke n unsur.
• Menyangka hubungan tidak boleh simetri dan antisimetri sekali gus: hubungan {(1, 1)} ialah kedua-duanya.
• Menggunakan g ∘ f dalam susunan yang salah: f bertindak dahulu.

7Rupa soalan peperiksaan

• Mudah: gambar rajah Venn dan subset. Anda mengira ungkapan set daripada gambar rajah Venn, mengklik kawasan sesuatu ungkapan, atau mencari saiz set kuasa, hasil darab Cartesan atau keluarga subset.
• Sederhana: rangkuman–penyisihan dan hubungan. Anda menyelesaikan masalah pengiraan dua dan tiga set, mengira ungkapan daripada jumlah kawasan, menentukan sifat yang dimiliki sesuatu hubungan, atau mengira pasangan yang diperlukan untuk suatu tutupan.
• Sukar: fungsi dan pengiraan. Anda mengelaskan fungsi sebagai satu-satu, keseluruhan atau bijektif, mengira fungsi, fungsi satu-satu dan fungsi keseluruhan, menilai gubahan dan songsangan, dan mengira pasangan dalam hubungan kesetaraan.