Statistik perihalan: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah
Soalan latihan Statistik perihalan percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: min dan median, sisihan piawai, taburan normal.
Soalan latihan percumaMudah
Cari min x̄ data: 4, 14, 15, 20, 40, 37, 14, 33, 33.
Statistik deskriptif meringkaskan senarai nombor, yang dipanggil data, dengan beberapa nilai. Soalan pertama ialah: di manakah pusatnya?
Min ialah purata biasa: jumlahkan semua nilai dan bahagi dengan bilangannya, n.
x̄ = Σx / n
Simbol Σ bermaksud “jumlahkan semuanya”, dan x̄ dibaca “x bar”. Bagi 3, 5 dan 10 min ialah 18/3 = 6.
Median ialah nilai tengah selepas anda menyusun data dari kecil ke besar.
n ganjil: median ialah satu nilai tengah. Bagi 3, 5, 10 ia ialah 5.
n genap: median ialah purata dua nilai tengah.
Satu nilai ekstrem, iaitu pencilan, menarik min ke arahnya tetapi hampir tidak menggerakkan median. Pendapatan sering diringkaskan dengan median kerana sebab itu.
Semakan kendiri Apakah median bagi 4, 40, 29, 22, 17, 20?
20
21
22
25.5
Jawapan: 21. Disusun: 4, 17, 20, 22, 29, 40. Dua nilai tengah ialah 20 dan 22, jadi median ialah 21. 25.5 datang daripada mengambil tengah senarai yang tidak disusun; 22 ialah min.
2Serakan: sisihan piawai
Dua set data boleh mempunyai min yang sama tetapi serakan yang sangat berbeza. Sisihan piawai s mengukur sejauh mana nilai biasanya terletak daripada min.
Setiap nilai mempunyai sisihan x − x̄. Sisihan berjumlah sifar, jadi anda mengkuasaduakannya dahulu, yang menjadikan semuanya positif.
s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )
Ini ialah sisihan piawai sampel: anda membahagi dengan n − 1, bukan dengan n. Kuasa dua s dipanggil varians.
Bagi 2, 4 dan 6: min ialah 4, sisihannya −2, 0 dan 2, kuasa duanya berjumlah 8, 8/2 = 4, dan s = √4 = 2.
Semakan kendiri Apakah sisihan piawai sampel bagi 2, 4 dan 6?
0
1.633
2
4
Jawapan: 2. Σ(x − x̄)² = 8, dibahagi dengan n − 1 = 2 memberikan 4, dan √4 = 2. Membahagi dengan n = 3 memberikan 1.633; 4 terlupa punca kuasa dua, dan 0 ialah jumlah sisihan sebelum dikuasaduakan.
3Skor-z dan taburan normal
Banyak ukuran, seperti ketinggian atau markah peperiksaan, mengikut lengkung berbentuk loceng: taburan normal. Pusatnya ialah min μ dan lebarnya ialah sisihan piawai σ.
Skor-z menyatakan berapa sisihan piawai sesuatu nilai terletak daripada min:
z = (x − μ) / σ
Dengan μ = 70 dan σ = 10, markah 74 mempunyai z = 4/10 = 0.4. z negatif bermaksud nilai itu terletak di bawah min.
Petua 68–95–99.7: kira-kira 68% nilai terletak dalam 1σ daripada min, 95% dalam 2σ dan 99.7% dalam 3σ.
Dengan μ = 50 dan σ = 5, nilai 60 mempunyai z = 2. Kira-kira 95% terletak antara 40 dan 60, jadi kira-kira 2.5% terletak di atas 60. Jadual-z memberikan nilai tepat 0.0228.
Semakan kendiri Skor IQ adalah normal dengan μ = 100 dan σ = 15. Kira-kira berapa peratus orang yang mendapat skor melebihi 115?
16%
32%
34%
68%
Jawapan: 16%. 115 ialah 1σ di atas min. 68% terletak dalam 1σ, jadi 32% terletak di luar, dibahagi sama rata kepada kedua-dua hujung: 16% di atas. 32% terlupa membahagi dua hujung.
4Kaedah langkah demi langkah
Tulis data dalam satu baris dan hitung n.
Min: jumlahkan semuanya dan bahagi dengan n.
Median: susun dahulu, kemudian ambil nilai tengah, atau purata dua nilai tengah.
Sisihan piawai: tolak min daripada setiap nilai, kuasa duakan, jumlahkan, bahagi dengan n − 1, ambil punca kuasa dua.
Skor-z: tolak μ, bahagi dengan σ. Kemudian gunakan petua 68–95–99.7 atau jadual-z untuk mendapatkan perkadaran.
Jadual dengan lajur x, x − x̄ dan (x − x̄)² memastikan pengiraan sisihan piawai kemas.
5Contoh terselesai
Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.
Contoh terselesai
Cari min, median dan sisihan piawai sampel s bagi data: 4, 8, 6, 5, 7.
1
Min
x̄ = (4 + 8 + 6 + 5 + 7) / 5 = 30 / 5 = 6
2
Median
Disusun: 4, 5, 6, 7, 8. Dengan n = 5 nilai tengah ialah yang ketiga.
median = 6
3
Sisihan dan kuasa dua
Tolak min daripada setiap nilai: −2, 2, 0, −1, 1. Semak: jumlahnya 0.
Kuasa duakannya: 4, 4, 0, 1, 1.
Σ(x − x̄)² = 4 + 4 + 0 + 1 + 1 = 10
4
Bahagi dengan n − 1
s² = 10 / (5 − 1) = 2.5
5
Ambil punca kuasa dua
s = √2.5 ≈ 1.58
Semak: nilai terletak 0, 1 atau 2 daripada min, jadi jarak lazim kira-kira 1.6 masuk akal.
Jawapan
Min x̄ = 6, median 6, dan s ≈ 1.58.
6Kesilapan lazim
Mengambil tengah senarai tanpa menyusunnya dahulu.
Membahagi dengan n dan bukan n − 1 bagi sisihan piawai sampel.
Terlupa punca kuasa dua pada akhir, yang memberikan varians dan bukan s.
Silap tanda skor-z: nilai di bawah min mempunyai z negatif.
Terlupa membahagi dengan σ dalam skor-z.
Semakan kendiri Markah peperiksaan mempunyai min 70 dan sisihan piawai 10. Apakah skor-z bagi markah 60?
1
6
−10
−1
Jawapan: −1. z = (60 − 70)/10 = −10/10 = −1. Markah itu terletak di bawah min, jadi z negatif. −10 terlupa membahagi dengan σ.
7Rupa soalan peperiksaan
Mudah: min atau median bagi senarai data yang pendek.
Sederhana: sisihan piawai sampel bagi lima atau enam nilai. Bahagi dengan n − 1.
Sukar: taburan normal. Cari skor-z, atau perkadaran nilai di atas atau di bawah nilai tertentu.
Semakan pantas: min dan median terletak antara nilai terkecil dengan nilai terbesar, dan s tidak pernah negatif.
Cari median M data: 39, 11, 3, 28, 18, 17, 40, 40, 5.
n = 9
Cari nilai M
Tunjukkan petunjuk
Susun nilai daripada yang terkecil kepada yang terbesar.
Dengan bilangan nilai yang ganjil, median ialah yang di tengah.
tersusun: 3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Susun
3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40
Nilai tengah
M = 18
Jawapan
M = 18
Contoh 2Sederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 26, 57, 34, 22, 53, 13, 59.
n = 7
Cari nilai s
Tunjukkan petunjuk
Cari min dahulu.
Kuasa duakan setiap sisihan daripada min, tambahkannya, bahagi dengan n − 1 dan ambil punca kuasa dua.
x̄ = 37.71.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 12. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 36?
μ = 60σ = 12x = 36
Cari nilai P
Tunjukkan petunjuk
Tukar kepada skor-z dahulu.
z = (36 − 60)/12 = −2.
Baca Φ(z) daripada jadual normal piawai.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = −2
Jadual normal piawai
Φ(−2) = 0.02275
P = 0.02275
Jawapan
P = 0.02275
Soalan dan jawapan
Apakah Statistik perihalan?
Statistik deskriptif meringkaskan senarai nombor, yang dipanggil data, dengan beberapa nilai. Soalan pertama ialah: di manakah pusatnya?
Simbol Σ bermaksud “jumlahkan semuanya”, dan x̄ dibaca “x bar”. Bagi 3, 5 dan 10 min ialah 18/3 = 6.
Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Statistik perihalan langkah demi langkah?
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Apakah yang diliputi oleh latihan Statistik perihalan?
Mudah: min dan median
Sederhana: sisihan piawai
Sukar: taburan normal
Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
Cara latihan berfungsi
Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.