Taburan normal: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah

Soalan latihan Taburan normal percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: luas pada satu hujung, luas antara dua nilai, persentil.

Soalan latihan percumaMudah
μ = 6567.5P = ?

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Berapakah pecahan di atas 67.5 markah? Cari P(X > x) sebagai perpuluhan.

μ = 65σ = 10x = 67.5
Soalan seterusnya →
Berlatih Taburan normal secara percumaBerlatih Taburan normal sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.

Apa yang anda latih

  1. Mudahluas pada satu hujung
  2. Sederhanaluas antara dua nilai
  3. Sukarpersentil

Cara menyelesaikan soalan Taburan normal

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Kesilapan lazim

  • Membaca jadual untuk hujung yang salah.
  • Terlupa membahagi dengan σ.
  • Menggunakan tanda z secara terbalik untuk persentil di bawah 50%.

Formula utama

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Pelajari Taburan normal dari awal

Sebelum ini: Statistik perihalan

1Lengkung loceng

Banyak kuantiti, seperti ketinggian, skor IQ atau berat bungkusan daripada sebuah mesin, mengikut taburan normal. Kebanyakan nilai terletak berhampiran tengah, dan nilai yang jauh jarang berlaku.

Graf itu ialah loceng simetri. Ia mempunyai dua nombor: min μ, di mana puncaknya, dan sisihan piawai σ, yang menentukan lebarnya.

7085100μ115130

Idea utama: kebarangkalian ialah luas di bawah lengkung. Jumlah luas ialah 1. Separuh kiri yang berlorek mempunyai luas 0.5, jadi separuh daripada semua nilai terletak di bawah min.

Kira-kira 68% nilai terletak dalam lingkungan satu σ daripada min, dan kira-kira 95% dalam lingkungan dua σ.

Semakan kendiri Berat bungkusan bertaburan normal dengan min 500 g. Apakah pecahan bungkusan yang beratnya kurang daripada 500 g?
  1. 0.5
  2. 0.68
  3. 0.95
  4. Bergantung pada σ

Jawapan: 0.5. Lengkung itu simetri di sekitar min, jadi tepat separuh luas terletak di bawah μ, apa pun σ. 0.68 ialah luas dalam lingkungan satu σ di kedua-dua belah.

2Skor-z dan jadual

Setiap taburan normal menjadi lengkung yang sama, iaitu normal piawai (min 0, σ = 1), apabila anda menukar nilai x kepada skor-z:

z = (x − μ) / σ

Jadual memberikan Φ(z): luas di sebelah kiri z. Contohnya Φ(1.2) = 0.8849, jadi 88.49% nilai terletak di bawah z = 1.2.

  • Di bawah x: P(X < x) = Φ(z).
  • Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z), kerana jumlah luas ialah 1.
  • Untuk z negatif: Φ(−z) = 1 − Φ(z), melalui simetri. Jadi Φ(−1.2) = 0.1151.

Nilai yang akan sering anda temui: Φ(1) = 0.8413, Φ(1.5) = 0.9332, Φ(2) = 0.9772.

Semakan kendiri Φ(1.2) = 0.8849. Berapakah P(Z > 1.2)?
  1. 0.1151
  2. 0.3849
  3. 0.8849
  4. 1.2

Jawapan: 0.1151. Jadual memberikan luas di sebelah kiri. Luas di sebelah kanan ialah 1 − 0.8849 = 0.1151. Menggunakan 0.8849 secara terus bermakna membaca ekor yang salah.

3Antara dua nilai dan persentil

Untuk luas antara dua nilai, tolak kedua-dua luas kiri: segala-galanya di bawah nilai atas, tolak segala-galanya di bawah nilai bawah.

P(x₁ < X < x₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁)

Persentil berfungsi secara terbalik. Persentil ke-90 ialah nilai dengan 90% luas di sebelah kirinya.

  • Cari z dengan Φ(z) sama dengan luas itu. Untuk 90%, z = 1.2816. Untuk 80%, z = 0.8416.
  • Tukar balik kepada x: x = μ + z · σ.

Untuk persentil di bawah 50%, z adalah negatif. Persentil ke-10 mempunyai z = −1.2816.

Semakan kendiri Skor IQ adalah normal dengan μ = 100 dan σ = 15. Nilai z bagi persentil ke-80 ialah 0.8416. Apakah persentil ke-80?
  1. 100.8
  2. 112.6
  3. 115
  4. 87.4

Jawapan: 112.6. x = 100 + 0.8416 · 15 = 112.6. Menggunakan tanda tolak memberikan 87.4, persentil ke-20; 100.8 terlupa mendarab dengan σ.

4Kaedah langkah demi langkah

  1. Lakarkan lengkung loceng, tandakan μ dan nilai-nilai itu, dan lorekkan luas yang ditanya.
  2. Tukarkan setiap nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  3. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri.
  4. Di bawah: Φ(z). Di atas: 1 − Φ(z). Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁).
  5. Untuk persentil, bekerja secara terbalik: luas → z → x = μ + zσ.
  6. Bandingkan dengan lakaran anda: luas berlorek yang kurang daripada separuh mesti memberikan nombor di bawah 0.5.

5Contoh terselesai

Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.

Contoh terselesai

Skor IQ bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 15. Apakah pecahan P yang terletak antara 91 dan 121?

1

Lakarkan luasnya

91x₁100121x₂

Luas berlorek meliputi bahagian tengah dan lebih banyak bahagian kanan. Jangkakan nombor yang sedikit melebihi 0.5.

2

Skor-z bawah

z₁ = (91 − 100) / 15 = −9/15 = −0.6
3

Skor-z atas

z₂ = (121 − 100) / 15 = 21/15 = 1.4
4

Cari kedua-dua luas

Φ(1.4) = 0.9192
Φ(−0.6) = 1 − Φ(0.6) = 1 − 0.7257 = 0.2743
5

Tolak

P = 0.9192 − 0.2743 = 0.6449

Ini sedikit melebihi 0.5, seperti yang diramalkan oleh lakaran.

Jawapan

P ≈ 0.645: kira-kira 64.5% skor terletak antara 91 dan 121.

6Kesilapan lazim

  • Membaca ekor yang salah: menggunakan Φ(z) apabila soalan meminta luas di atas x.
  • Terlupa membahagi dengan σ dalam skor-z.
  • Menambah dua luas kiri bagi suatu selang dan bukannya menolaknya.
  • Menggunakan tanda z yang salah bagi persentil di bawah 50%.
  • Mencampuradukkan σ dan varians σ². Bahagi dengan σ, sisihan piawai.
Semakan kendiri Skor peperiksaan adalah normal dengan μ = 65 dan σ = 10. Φ(−1.5) = 0.0668. Apakah pecahan yang mendapat skor di atas 50?
  1. 0.0668
  2. 0.4332
  3. 0.5668
  4. 0.9332

Jawapan: 0.9332. z = (50 − 65)/10 = −1.5, dan P(X > 50) = 1 − Φ(−1.5) = 0.9332. 0.0668 ialah luas di bawah 50: ekor yang salah. Kebanyakan pelajar mendapat skor di atas 50, jadi jawapannya mesti besar.

7Rupa soalan peperiksaan

  • Mudah: luas dalam satu ekor. Cari P(X < x) atau P(X > x) dengan satu skor-z.
  • Sederhana: luas antara dua nilai, Φ(z₂) − Φ(z₁), seperti dalam contoh.
  • Sukar: persentil. Cari nilai di bawahnya terletak 80% atau 90% data.

Sentiasa lakar dahulu. Lakaran sepuluh saat menangkap kebanyakan kesilapan ekor.

Belajar langkah demi langkah dalam aplikasiBelajar langkah demi langkah dalam aplikasi

Contoh penyelesaian

Contoh 1Mudah
μ = 3236.8P = ?

masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Berapakah pecahan di atas 36.8 min? Cari P(X > x) sebagai perpuluhan.

μ = 32σ = 6x = 36.8

Cari nilai P(X > x)

Tunjukkan petunjuk
  1. Tukar kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. z = (36.8 − 32)/6 = 0.8.
  3. Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z).
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z = (36.8 − 32)/6 = 0.8

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(0.8) = 1 − 0.7881 = 0.2119

Jawapan

P = 0.2119

Itu ialah 21.19%.

Contoh 2Sederhana
750 g769.7 gX + Y?

X normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 4 g; Y tak bersandar dan normal dengan min 500 g dan sisihan piawai 9 g. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 769.7 g. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 769.7 g

Cari nilai P

Tunjukkan petunjuk
  1. E(X + Y) = 250 + 500 = 750 g.
  2. σ = √(4² + 9²) = 9.849 g.
  3. z = (769.7 − 750)/9.849.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

Piawaikan

z = (769.7 − 750)/9.849 = 2

Ekor atas

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.02275

Jawapan

P = 0.02275
Contoh 3Sukar
μ = 178x = ?20%

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 20% daripadanya (persentil ke-20).

μ = 178σ = 7P = 20%

Cari nilai x (cm)

Tunjukkan petunjuk
  1. Bekerja ke belakang: cari z dengan Φ(z) = P/100 dalam jadual.
  2. z = −0.8416.
  3. Kemudian x = μ + z·σ.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

Kembali kepada x

x = 178 + −0.8416·7 = 172.11 cm

Jawapan

x = 172.11 cm

Soalan dan jawapan

Apakah Taburan normal?

Banyak kuantiti, seperti ketinggian, skor IQ atau berat bungkusan daripada sebuah mesin, mengikut taburan normal. Kebanyakan nilai terletak berhampiran tengah, dan nilai yang jauh jarang berlaku.

Graf itu ialah loceng simetri. Ia mempunyai dua nombor: min μ, di mana puncaknya, dan sisihan piawai σ, yang menentukan lebarnya.

Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Taburan normal langkah demi langkah?
  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Apakah kesilapan lazim dalam Taburan normal?
  • Membaca jadual untuk hujung yang salah.
  • Terlupa membahagi dengan σ.
  • Menggunakan tanda z secara terbalik untuk persentil di bawah 50%.
Apakah yang diliputi oleh latihan Taburan normal?
  • Mudah: luas pada satu hujung
  • Sederhana: luas antara dua nilai
  • Sukar: persentil

Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.

Cara latihan berfungsi

  • Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
  • Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.

Topik sebelum dan selepas topik ini

Pelajari dahulu

Statistik perihalan

Teruskan dengan

Selang keyakinan

Kalkulator

Kalkulator skor-z dan kebarangkalian normalKalkulator taburan normal

Kursus dengan topik ini

Kaedah Penyelidikan dan Statistik untuk PsikologiStatistik PengenalanMatematik KejuruteraanStatistik 2: Inferens StatistikLatihan peperiksaan FE AwamSoalan latihan AP StatisticsLatihan kaedah kuantitatif dan pendapatan tetap CFA Level I

Lebih banyak topik dalam Matematik & statistik

HadTerbitanPengoptimumanKamiranJujukan & siriKalkulus multipemboleh ubahPersamaan pembezaanNombor kompleksKaedah berangkaMatriks & penentuVektor: hasil darab titik & silangLogik proposisi & pembuktianSet, hubungan & fungsiTeori grafTeori nombor & aritmetik moduloKebarangkalianStatistik perihalanSelang keyakinanUjian hipotesis & selang keyakinanRegresi linear & korelasiUjian khi kuasa dua

Lembaran kerja boleh cetak

Lembaran kerja Taburan normal dengan jawapan
Berlatih Taburan normal secara percumaBerlatih Taburan normal sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.