Pengoptimuman: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah

Soalan latihan Pengoptimuman percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: luas atau isi padu maksimum, kos atau bahan minimum, keuntungan dan hasil.

Soalan latihan percumaMudah
sungaixxy

Seorang petani mempunyai 240 m pagar untuk mengepung sebidang padang berbentuk segi empat tepat di tepi sebatang sungai yang lurus. Tiada pagar diperlukan di sepanjang sungai. Cari luas terbesar A yang boleh dikepung.

240 m2x + y = 240
m²
Soalan seterusnya →
Berlatih Pengoptimuman secara percumaBerlatih Pengoptimuman sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.

Apa yang anda latih

  1. Mudahluas atau isi padu maksimum
  2. Sederhanakos atau bahan minimum
  3. Sukarkeuntungan dan hasil

Formula utama

Kaedah
tulis Q(x) dengan satu pemboleh ubah, selesaikan Q′(x) = 0, semak Q″ atau titik hujung
Maksimum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Untung
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Pelajari Pengoptimuman dari awal

Sebelum ini: Terbitan

1Apakah pengoptimuman

Pengoptimuman bermakna mencari nilai yang terbaik: luas terbesar bagi panjang pagar tertentu, logam paling sedikit untuk tin, atau keuntungan tertinggi.

Kuantiti yang anda mahu jadikan sebesar atau sekecil mungkin bergantung pada satu pemboleh ubah, contohnya lebar x sebuah padang.

Bayangkan grafnya. Di puncak bukit dan di dasar lembah, graf rata seketika. Maka kecerunan di situ ialah sifar.

Itulah idea utama: pada maksimum atau minimum, terbitan ialah 0. Anda mencari x terbaik dengan menyelesaikan Q′(x) = 0.

Semakan kendiri Luas A(x) sebuah padang mempunyai nilai terbesar pada x = 12. Apakah A′(12)?
  1. 0
  2. Nombor negatif
  3. Nombor positif
  4. Sama dengan A(12)

Jawapan: 0. Di puncak graf tangen adalah mengufuk, maka kecerunan ialah 0. Kecerunan positif bermakna luas masih meningkat.

2Matlamat dan kekangan

Setiap masalah pengoptimuman mempunyai dua bahagian. Namakannya sebelum anda mengira apa-apa.

  • Matlamat: kuantiti untuk dimaksimumkan atau diminimumkan, seperti luas A atau kos C.
  • Kekangan: syarat tetap, seperti jumlah panjang pagar atau isi padu yang mesti dimuatkan oleh tin.

Matlamat biasanya mempunyai dua pemboleh ubah, contohnya A = x · y. Anda belum boleh membezakannya.

Gunakan kekangan untuk menulis y dalam sebutan x. Kemudian matlamat bergantung pada x sahaja.

Contoh: segi empat tepat dengan perimeter 20 m mempunyai 2x + 2y = 20, maka y = 10 − x dan A(x) = x(10 − x) = 10x − x².

Lukis lakaran dahulu dan tulis setiap panjang padanya. Kebanyakan kesilapan berlaku dalam kekangan.

Semakan kendiri Padang di tepi sungai dipagar pada tiga sisi dengan 40 m: dua sisi berpanjang x dan satu sisi y selari dengan sungai. Apakah kekangannya?
  1. 2x + 2y = 40
  2. 2x + y = 40
  3. x + y = 40
  4. x · y = 40

Jawapan: 2x + y = 40. Terdapat tiga pagar: x, x dan y. Sisi sungai tidak memerlukan pagar. 2x + 2y ialah segi empat tepat penuh dengan empat sisi berpagar.

3Masalah kos dan keuntungan

Dalam masalah perniagaan, matlamatnya ialah keuntungan: hasil tolak kos.

P(q) = R(q) − C(q), R = p · q

Di sini q ialah bilangan unit yang dijual dan p harga seunit. Jika harga bergantung pada q, masukkan formula itu ke dalam R dahulu.

Contoh: harga ialah p = 60 − q dan kos ialah C = 100 + 30q.

R = (60 − q)·q = 60q − q²
P = 60q − q² − 100 − 30q = −q² + 30q − 100
P′(q) = −2q + 30 = 0 ⇒ q = 15

Harga terbaik ialah p = 60 − 15 = €45. Baca soalan dengan teliti: ia mungkin meminta q, p atau keuntungan P itu sendiri.

Semakan kendiri Produk dijual pada €40 seunit. Kos q unit ialah C = 100 + 10q + 0.5q² euro. Output q manakah yang memberi keuntungan tertinggi?
  1. 15
  2. 30
  3. 40
  4. 60

Jawapan: 30. P = 40q − 100 − 10q − 0.5q², maka P′ = 30 − q = 0 dan q = 30. Terlupa 2 apabila membezakan 0.5q² memberi 60.

4Kaedah langkah demi langkah

  1. Lukis lakaran dan namakan pemboleh ubah.
  2. Tulis matlamat Q (luas, kos, keuntungan) dan kekangan.
  3. Gunakan kekangan untuk menulis Q sebagai fungsi satu pemboleh ubah, Q(x).
  4. Bezakan dan selesaikan Q′(x) = 0.
  5. Semak bahawa ia jenis titik yang betul: Q″ < 0 untuk maksimum, Q″ > 0 untuk minimum.
  6. Jawab soalan yang ditanya: x, sisi lain, atau nilai terbaik Q itu sendiri, dengan unit.

5Contoh terselesai

Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.

Contoh terselesai

Seorang petani mempunyai 60 m pagar untuk padang segi empat tepat di tepi sungai yang lurus. Tiada pagar diperlukan di tepi sungai. Cari sisi y selari dengan sungai dan luas terbesar A.

1

Lakaran dan kekangan

xxyA

Sungai berada di atas, maka hanya tiga sisi memerlukan pagar: dua sisi x dan satu sisi y.

2x + y = 60 ⇒ y = 60 − 2x
2

Luas dalam satu pemboleh ubah

A = x · y = x(60 − 2x) = 60x − 2x²
3

Tetapkan terbitan kepada sifar

A′(x) = 60 − 4x = 0 ⇒ x = 15 m
4

Adakah ia maksimum?

A″(x) = −4 < 0

Terbitan kedua negatif, maka x = 15 m memberi luas terbesar.

xA(15, 450)1530
5

Sisi yang lain dan luas

y = 60 − 2 · 15 = 30 m
A = 15 · 30 = 450 m²
6

Semak jawapan

Cuba satu nilai pada setiap sisi. x = 14 memberi 14 · 32 = 448 m², dan x = 16 memberi 16 · 28 = 448 m². Kedua-duanya lebih kecil daripada 450 m².

Jawapan

y = 30 m dan luas terbesar ialah A = 450 m².

6Kesilapan lazim

  • Memberi jawapan bagi kuantiti yang salah: soalan meminta y, dan anda memberi x.
  • Membezakan matlamat yang masih mempunyai dua pemboleh ubah. Gunakan kekangan dahulu.
  • Menulis kekangan yang salah, contohnya memagar sisi sungai juga.
  • Tidak menyemak sama ada titik itu maksimum atau minimum.
  • Terlupa unit, atau memberi luas dalam m dan bukannya m².
Semakan kendiri Dengan 40 m pagar di tepi sungai (2x + y = 40), lebar terbaik ialah x = 10 m. Soalan meminta sisi y selari dengan sungai. Apakah jawapan anda?
  1. 10 m
  2. 20 m
  3. 200 m²
  4. 40 m

Jawapan: 20 m. y = 40 − 2 · 10 = 20 m. Menjawab 10 m memberi x dan bukannya y, dan 200 m² ialah luas, bukan sisi.

7Rupa soalan peperiksaan

  • Mudah: luas atau isi padu maksimum, seperti padang di tepi sungai atau kandang yang dibahagi dengan pagar tambahan.
  • Sederhana: kos atau bahan minimum, seperti tin tertutup (V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh) atau pagar dengan dua harga semeter.
  • Sukar: keuntungan dan hasil. Bina P = R − C, selesaikan P′(q) = 0, kemudian cari harga atau keuntungan maksimum.

Semakan pantas: masukkan nilai sedikit di atas dan sedikit di bawah jawapan anda ke dalam Q. Kedua-duanya patut lebih teruk.

Belajar langkah demi langkah dalam aplikasiBelajar langkah demi langkah dalam aplikasi

Contoh penyelesaian

Contoh 1Mudah
x18 cm18 cmx

Sebuah kotak terbuka dibuat daripada sehelai kadbod segi empat sama 18 cm × 18 cm dengan memotong petak sama sisi x pada keempat-empat penjuru dan melipat sisi ke atas. Cari isi padu terbesar yang mungkin V.

18 cm × 18 cm

Cari nilai V (cm³)

Tunjukkan petunjuk
  1. Tapak berukuran (18 − 2x) kali (18 − 2x) dan tingginya ialah x.
  2. V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x.
  3. V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0. Hanya punca dengan 0 < x < 9 yang bermakna.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Isi padu sebagai fungsi x

V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x

Tetapkan terbitan kepada sifar

Punca yang lebih besar memberikan sisi tapak ≤ 0, maka ia berada di luar julat yang dibenarkan.

V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0
x = 3 atau x = 9
x = 3 cm

Isi padu

V = 3·12·12 = 432 cm³

Jawapan

V = 432 cm³
Contoh 2Sederhana
rh

Sebuah tin silinder tertutup (dengan penutup atas dan bawah) mesti memuatkan 400 cm³. Logam yang digunakan berkadar dengan jumlah luas permukaan. Cari luas permukaan terkecil yang mungkin A.

V = 400 cm³

Cari nilai A (cm²)

Tunjukkan petunjuk
  1. Gunakan isi padu untuk menghapuskan h: πr²h = 400, maka h = 400/(πr²).
  2. A(r) = 2πr² + 2·400/r.
  3. A′(r) = 4πr − 2·400/r² = 0 → r³ = 400/(2π).
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Luas sebagai fungsi r

h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r

Tetapkan terbitan kepada sifar

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, maka ini ialah minimum.

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3.993 cm

Tinggi dan luas

h = 400/(π·3.993²) = 2r = 7.986 cm
A = 2π·3.993² + 800/3.993 = 300.5 cm²

Jawapan

A = 300.5 cm²

Tin tertutup yang paling murah adalah setinggi lebarnya: h = 2r.

Contoh 3Sukar
p (€)R(p)10sekarang

Sebuah panggung menjual 580 tiket setiap pertunjukan pada harga €10 setiap satu. Kajian pasaran menunjukkan bahawa setiap kenaikan €1 pada harga tiket bermakna 20 tiket kurang terjual (dan setiap penurunan €1, 20 lebih). Cari hasil maksimum R setiap pertunjukan.

580 × €1020 / €1

Cari nilai R (€)

Tunjukkan petunjuk
  1. Tiket terjual pada harga p: n(p) = 580 − 20·(p − 10) = 780 − 20p.
  2. R(p) = p·(780 − 20p) = 780p − 20p².
  3. R′(p) = 780 − 40p = 0.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Hasil sebagai fungsi harga

n(p) = 780 − 20p
R(p) = 780p − 20p²

Tetapkan terbitan kepada sifar

R″(p) = −40 < 0, maka ini ialah maksimum.

p = 780/40 = €19.5

Hasil maksimum

n = 780 − 20·19.5 = 390
R = 19.5·390 = €7605

Jawapan

R = €7605

Soalan dan jawapan

Apakah Pengoptimuman?

Pengoptimuman bermakna mencari nilai yang terbaik: luas terbesar bagi panjang pagar tertentu, logam paling sedikit untuk tin, atau keuntungan tertinggi.

Kuantiti yang anda mahu jadikan sebesar atau sekecil mungkin bergantung pada satu pemboleh ubah, contohnya lebar x sebuah padang.

Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Pengoptimuman langkah demi langkah?

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Apakah kesilapan lazim dalam Pengoptimuman?
  • Setiap sisi tapak kehilangan satu petak pada kedua-dua hujungnya, maka sisi tapak ialah a − 2x dan b − 2x, bukan a − x dan b − x.
  • Tin itu tertutup: kira kedua-dua penutup atas dan bawah, A = 2πr² + 2πrh.
  • Itu ialah hasil pada harga semasa. Cari harga yang memberikan R′(p) = 0 dahulu.
Apakah yang diliputi oleh latihan Pengoptimuman?
  • Mudah: luas atau isi padu maksimum
  • Sederhana: kos atau bahan minimum
  • Sukar: keuntungan dan hasil

Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.

Cara latihan berfungsi

  • Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
  • Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.

Topik sebelum dan selepas topik ini

Pelajari dahulu

Terbitan

Kursus dengan topik ini

Kalkulus 1Soalan latihan AP Calculus

Lebih banyak topik dalam Matematik & statistik

HadTerbitanKamiranJujukan & siriKalkulus multipemboleh ubahPersamaan pembezaanNombor kompleksKaedah berangkaMatriks & penentuVektor: hasil darab titik & silangLogik proposisi & pembuktianSet, hubungan & fungsiTeori grafTeori nombor & aritmetik moduloKebarangkalianStatistik perihalanTaburan normalSelang keyakinanUjian hipotesis & selang keyakinanRegresi linear & korelasiUjian khi kuasa dua

Lembaran kerja boleh cetak

Lembaran kerja Pengoptimuman dengan jawapan
Berlatih Pengoptimuman secara percumaBerlatih Pengoptimuman sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.