Kalkulus multipemboleh ubah: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah

Soalan latihan Kalkulus multipemboleh ubah percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: terbitan separa dan kamiran berganda, kecerunan, satah tangen dan petua rantai, titik genting dan kamiran ke atas rantau.

Soalan latihan percumaMudah
xy3−3P

Bagi f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xy, cari terbitan separa ∂f/∂x pada titik (3, −3).

f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xyP = (3, −3)
Soalan seterusnya →
Berlatih Kalkulus multipemboleh ubah secara percumaBerlatih Kalkulus multipemboleh ubah sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.

Apa yang anda latih

  1. Mudahterbitan separa dan kamiran berganda
  2. Sederhanakecerunan, satah tangen dan petua rantai
  3. Sukartitik genting dan kamiran ke atas rantau

Cara menyelesaikan soalan Kalkulus multipemboleh ubah

  1. Untuk terbitan separa, anggap pemboleh ubah yang satu lagi sebagai pemalar dan gunakan petua satu pemboleh ubah.
  2. Untuk soalan kecerunan hitung ∇f = (fx, fy) pada titik itu; gunakan |∇f| untuk cerun paling curam dan ∇f·u dengan vektor unit u untuk terbitan arah.
  3. Untuk ekstrem selesaikan fx = 0 dan fy = 0 bersama-sama, kemudian kelaskan setiap titik dengan D = fxx·fyy − fxy².
  4. Untuk kamiran berganda lakar rantau itu, pilih susunan (atau koordinat kutub untuk cakera) supaya had dalam ialah lengkung pembatas, dan kamirkan bahagian dalam dahulu.

Kesilapan lazim

  • Membezakan pemboleh ubah yang sepatutnya dikekalkan malar.
  • Terlupa menormalkan vektor arah.
  • Menulis D = fxx·fyy + fxy² atau menyebut titik dengan D < 0 sebagai ekstrem.
  • Menggunakan had dalam yang malar bagi rantau yang dibatasi oleh lengkung.
  • Meninggalkan faktor r dalam dA = r dr dθ.

Formula utama

Terbitan separa
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Kecerunan
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Terbitan arah
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Satah tangen
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Petua rantai
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Ujian terbitan kedua
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Kamiran berganda
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Koordinat kutub
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Pelajari Kalkulus multipemboleh ubah dari awal

Sebelum ini: Terbitan, Kamiran

1Terbitan separa

Fungsi dua pemboleh ubah, z = f(x, y), ialah permukaan di atas satah xy. Pada peta ia dilukis dengan lengkung aras, garis yang f mempunyai nilai yang sama.

Terbitan separa mengukur cerun dalam satu arah. Untuk ∂f/∂x (juga ditulis fx) anda mengekalkan y malar dan membezakan terhadap x, menggunakan petua biasa.

Contoh: f(x, y) = x²y + 3y². Anggap y sebagai nombor untuk fx, dan x sebagai nombor untuk fy:

fx = 2xy fy = x² + 6y

Pada (1, 2) ini memberi fx = 4 dan fy = 1 + 12 = 13.

Membezakan sekali lagi memberi terbitan kedua fxx, fyy dan fxy. Susunan terbitan bercampur tidak penting: fxy = fyx. Di sini fxy = 2x.

Semakan kendiri Apakah ∂f/∂y bagi f(x, y) = x³y²?
  1. 2x³y
  2. 3x²y²
  3. 6x²y
  4. x³y²

Jawapan: 2x³y. Kekalkan x malar: x³ ialah faktor malar, dan y² memberi 2y, maka fy = 2x³y. 3x²y² ialah ∂f/∂x.

2Kecerunan dan terbitan arah

Kecerunan mengumpulkan kedua-dua terbitan separa: ∇f = (fx, fy). Ia menunjuk ke arah f meningkat paling cepat, berserenjang dengan lengkung aras.

xy∇fP

Cerun paling curam itu sendiri ialah panjang |∇f| = √(fx² + fy²).

Cerun dalam sebarang arah v yang lain ialah terbitan arah. Jadikan v vektor unit u = v/|v| dahulu, kemudian ambil hasil darab titik:

Duf = ∇f·u

Untuk f = x²y + 3y² pada (1, 2): ∇f = (4, 13). Dalam arah v = (3, 4), u = (0.6, 0.8), maka Duf = 4·0.6 + 13·0.8 = 12.8.

Semakan kendiri Pada satu titik ∇f = (3, 4). Apakah kadar kenaikan terbesar f di situ?
  1. 12
  2. 25
  3. 5
  4. 7

Jawapan: 5. Ia ialah |∇f| = √(3² + 4²) = 5. Menambah komponen memberi 7, dan terlupa punca kuasa dua memberi 25.

3Satah tangen dan petua rantai

Berhampiran titik (a, b) permukaan hampir rata. Satah tangen ialah

z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)

Ia memberi hampiran linear f(a + Δx, b + Δy) ≈ f(a, b) + fxΔx + fyΔy.

Contoh: f = x²y + 3y² mempunyai f(1, 2) = 14, maka berhampiran (1, 2): f(1.1, 1.9) ≈ 14 + 4·0.1 + 13·(−0.1) = 13.1. Nilai tepat ialah 13.129.

Apabila x dan y kedua-duanya bergantung pada t, petua rantai menambah kedua-dua laluan: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

4Titik genting

Pada maksimum, minimum atau titik pelana, permukaan itu rata: fx = 0 dan fy = 0. Titik sedemikian ialah titik genting.

Ujian terbitan kedua menggunakan D = fxxfyy − fxy² pada titik itu:

  • D > 0 dan fxx > 0: minimum tempatan.
  • D > 0 dan fxx < 0: maksimum tempatan.
  • D < 0: titik pelana, naik dalam satu arah dan turun dalam arah yang lain.
  • D = 0: ujian itu tidak menentukan apa-apa.
Contoh terselesai

Cari dan kelaskan titik genting bagi f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y.

1

Tetapkan kedua-dua terbitan separa kepada sifar

fx = 3x² − 3 = 0 → x = ±1 fy = 2y − 4 = 0 → y = 2

Titik gentingnya ialah (1, 2) dan (−1, 2).

2

Terbitan kedua

fxx = 6x, fyy = 2, fxy = 0
3

Uji (1, 2)

D = 6·2 − 0 = 12 > 0 dan fxx = 6 > 0: minimum tempatan, dengan f(1, 2) = 1 − 3 + 4 − 8 = −6.

4

Uji (−1, 2)

D = −6·2 − 0 = −12 < 0: titik pelana.

Jawapan

Minimum tempatan pada (1, 2) dengan f = −6; titik pelana pada (−1, 2).

5Kamiran berganda

Kamiran berganda ∬R f dA menjumlahkan f ke atas rantau R; untuk f = 1 ia ialah luas R. Hitungnya sebagai dua kamiran tunggal, yang dalam dahulu.

Ke atas segi empat tepat, had ialah nombor: ∫02∫01 (x + 2y) dy dx. Kamiran dalam memberi x + 1, dan ∫02 (x + 1) dx = 4.

Ke atas rantau am, had dalam ialah lengkung yang mengelilinginya. Bagi rantau antara y = x² dengan y = 2x, y bermula dari x² hingga 2x, dan x dari 0 hingga 2.

xyy = 2xy = x²2
Luas = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3

Untuk cakera dan sektor gunakan koordinat kutub: x² + y² = r² dan dA = r dr dθ. Ke atas cakera r ≤ 2: ∬(x² + y²) dA = ∫02π∫02 r³ dr dθ = 2π·4 = 8π.

Semakan kendiri Dalam koordinat kutub, apakah yang dA menjadi?
  1. dr dθ
  2. r dr dθ
  3. r² dr dθ
  4. θ dr dθ

Jawapan: r dr dθ. Kepingan kutub kecil selebar Δr dan sepanjang r·Δθ, maka dA = r dr dθ. Terlupa faktor r ialah kesilapan paling lazim.

6Kesilapan lazim dan soalan peperiksaan

  • Turut membezakan pemboleh ubah “malar” dalam terbitan separa.
  • Menggunakan v dan bukan vektor unit u dalam terbitan arah.
  • Menulis D = fxxfyy + fxy², atau mengelaskan titik dengan D < 0 sebagai ekstrem.
  • Menggunakan nombor sebagai had dalam apabila rantau dibatasi oleh lengkung.
  • Terlupa faktor r dalam koordinat kutub.

Mudah: terbitan separa pada satu titik dan kamiran ke atas segi empat tepat. Sederhana: kecerunan, terbitan arah, satah tangen dan petua rantai. Sukar: mengelaskan titik genting dan kamiran ke atas rantau melengkung, dalam koordinat kutub atau dengan susunan disongsangkan.

Belajar langkah demi langkah dalam aplikasiBelajar langkah demi langkah dalam aplikasi

Contoh penyelesaian

Contoh 1Mudah
xy−1−3P

Bagi f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xy, cari terbitan separa ∂f/∂x pada titik (−1, −3).

f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xyP = (−1, −3)

Cari nilai fx(−1, −3)

Tunjukkan petunjuk
  1. Anggap y sebagai nombor malar dan bezakan terhadap x.
  2. ∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y
  3. Gantikan x = −1 dan y = −3.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Terbitan separa: ∂f/∂x ialah terbitan biasa terhadap x sementara y dikekalkan malar (anggap y sebagai nombor), dan ∂f/∂y sebaliknya. Petua (kuasa, hasil darab, rantai) sama seperti dalam satu pemboleh ubah. Terbitan kedua bercampur memberi hasil yang sama dalam apa jua susunan: fxy = fyx. Kamiran berganda ke atas segi empat tepat dikira sebagai dua kamiran tunggal, yang dalam dahulu: ∫∫ f dA = ∫(∫ f dy) dx.

Bezakan

y dikekalkan malar.

∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y

Gantikan

fx(−1, −3) = −4

Jawapan

fx(−1, −3) = −4
Contoh 2Sederhana

z = 2x²e3y dengan x = −t − 2 dan y = t² + 2. Gunakan petua rantai untuk mencari dz/dt pada t = 0.

z = 2x²e3yx = −t − 2y = t² + 2t = 0

Cari nilai dz/dt

Tunjukkan petunjuk
  1. dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
  2. Pada t = 0: x = −2, y = 2, dx/dt = −1, dy/dt = 0.
  3. fx = 4xe3y, fy = 6x²e3y
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Kecerunan: ∇f = (fx, fy) menunjuk ke arah menaik paling curam, dan |∇f| ialah kadar perubahan terbesar. Terbitan arah sepanjang arah v ialah Duf = ∇f·u dengan vektor unit u = v/|v|. Satah tangen pada (a, b) ialah z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); ia memberi hampiran linear bagi f berhampiran titik itu. Petua rantai: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Titik dan kadar

x(0) = −2, y(0) = 2
dx/dt = −1, dy/dt = 2t = 0

Terbitan separa

fx = 4xe3y = −3227
fy = 6x²e3y = 9682

Petua rantai

dz/dt = (−3227)·(−1) + 9682·0 = 3227

Jawapan

dz/dt = 3227
Contoh 3Sukar
xy02−1012(0, 0)(1, 1)

f(x, y) = x³ + y³ − 3xy mempunyai titik genting pada (1, 1). Hitung pembezalayan D = fxxfyy − fxy² di situ.

f(x, y) = x³ + y³ − 3xyP = (1, 1)

Cari nilai D

Tunjukkan petunjuk
  1. Cari tiga terbitan kedua fxx, fyy dan fxy.
  2. Pada titik itu: fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3.
  3. D = fxxfyy − fxy².
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Titik genting dan kamiran berganda: titik genting mempunyai fx = fy = 0. Ujian terbitan kedua dengan D = fxxfyy − fxy²: D > 0 dan fxx > 0 ialah minimum tempatan, D > 0 dan fxx < 0 maksimum tempatan, D < 0 titik pelana, dan D = 0 tidak menentukan apa-apa. Untuk kamiran berganda ke atas rantau am, jadikan had dalam sebagai lengkung yang mengelilingi rantau itu; untuk cakera dan sektor gunakan koordinat kutub, x = r cos θ, y = r sin θ dan dA = r dr dθ (jangan lupa faktor r).

Terbitan kedua

fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3

Pembezalayan

D = 6·6 − (−3)² = 27
→ minimum tempatan

Jawapan

D = 27

Soalan dan jawapan

Apakah Kalkulus multipemboleh ubah?

Fungsi dua pemboleh ubah, z = f(x, y), ialah permukaan di atas satah xy. Pada peta ia dilukis dengan lengkung aras, garis yang f mempunyai nilai yang sama.

Contoh: f(x, y) = x²y + 3y². Anggap y sebagai nombor untuk fx, dan x sebagai nombor untuk fy:

Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Kalkulus multipemboleh ubah langkah demi langkah?
  1. Untuk terbitan separa, anggap pemboleh ubah yang satu lagi sebagai pemalar dan gunakan petua satu pemboleh ubah.
  2. Untuk soalan kecerunan hitung ∇f = (fx, fy) pada titik itu; gunakan |∇f| untuk cerun paling curam dan ∇f·u dengan vektor unit u untuk terbitan arah.
  3. Untuk ekstrem selesaikan fx = 0 dan fy = 0 bersama-sama, kemudian kelaskan setiap titik dengan D = fxx·fyy − fxy².
  4. Untuk kamiran berganda lakar rantau itu, pilih susunan (atau koordinat kutub untuk cakera) supaya had dalam ialah lengkung pembatas, dan kamirkan bahagian dalam dahulu.
Apakah kesilapan lazim dalam Kalkulus multipemboleh ubah?
  • Membezakan pemboleh ubah yang sepatutnya dikekalkan malar.
  • Terlupa menormalkan vektor arah.
  • Menulis D = fxx·fyy + fxy² atau menyebut titik dengan D < 0 sebagai ekstrem.
  • Menggunakan had dalam yang malar bagi rantau yang dibatasi oleh lengkung.
  • Meninggalkan faktor r dalam dA = r dr dθ.
Apakah yang diliputi oleh latihan Kalkulus multipemboleh ubah?
  • Mudah: terbitan separa dan kamiran berganda
  • Sederhana: kecerunan, satah tangen dan petua rantai
  • Sukar: titik genting dan kamiran ke atas rantau

Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.

Cara latihan berfungsi

  • Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
  • Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.

Topik sebelum dan selepas topik ini

Pelajari dahulu

TerbitanKamiran

Kursus dengan topik ini

Matematik Kejuruteraan 2Kalkulus 2

Lebih banyak topik dalam Matematik & statistik

HadTerbitanPengoptimumanKamiranJujukan & siriPersamaan pembezaanNombor kompleksKaedah berangkaMatriks & penentuVektor: hasil darab titik & silangLogik proposisi & pembuktianSet, hubungan & fungsiTeori grafTeori nombor & aritmetik moduloKebarangkalianStatistik perihalanTaburan normalSelang keyakinanUjian hipotesis & selang keyakinanRegresi linear & korelasiUjian khi kuasa dua

Lembaran kerja boleh cetak

Lembaran kerja Kalkulus multipemboleh ubah dengan jawapan
Berlatih Kalkulus multipemboleh ubah secara percumaBerlatih Kalkulus multipemboleh ubah sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.