Ujian khi kuasa dua: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah
Soalan latihan Ujian khi kuasa dua percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: kebagusan penyuaian, ujian kebebasan, keputusan nilai genting.
Soalan latihan percumaMudah
Seorang pengeluar gula-gula mendakwa perkadaran warna seperti yang ditunjukkan dalam jadual. Satu sampel rawak 200 gula-gula memberikan kiraan cerapan. Hitung statistik kebagusan penyuaian khi kuasa dua χ² bagi H₀: perkadaran yang didakwa adalah betul.
Ujian khi kuasa dua (χ²) membandingkan bilangan. Ia menanyakan sama ada bilangan yang anda cerap berbeza daripada bilangan yang dijangka lebih daripada kebetulan.
Contoh: anda membaling dadu 60 kali. Jika dadu itu adil, setiap muka sepatutnya muncul kira-kira 60 · 1/6 = 10 kali. Itulah bilangan jangkaan E.
Anda mencerap 8, 12, 9, 11, 6 dan 14. Ini ialah bilangan cerapan O. Ia tidak pernah tepat 10, walaupun bagi dadu yang adil. Soalannya ialah sama ada ia terlalu jauh menyimpang.
Seperti dalam setiap ujian hipotesis, H₀ menyatakan tiada perkara istimewa berlaku: dadu itu adil, atau dua pemboleh ubah adalah tak bersandar.
Semakan kendiri Sebiji dadu dibaling 120 kali untuk menguji sama ada ia adil. Berapakah bilangan jangkaan bagi setiap muka?
1/6
120
20
6
Jawapan: 20. E = n · p = 120 · 1/6 = 20. Kebarangkalian 1/6 bukan bilangan; anda mesti mendarabkannya dengan bilangan balingan.
2Statistik ujian
Bagi setiap kategori, ambil perbezaan O − E, kuasa duakannya, dan bahagi dengan E. Kemudian jumlahkan bagi semua kategori:
χ² = Σ (O − E)² / E
Kuasa dua menjadikan setiap sebutan positif. Pembahagian dengan E menjadikan perbezaan 4 lebih bermakna apabila hanya 10 dijangka berbanding apabila 1000 dijangka.
Darjah kebebasan bagi ujian kebagusan penyuaian ini ialah df = k − 1, dengan k ialah bilangan kategori. Enam muka memberikan df = 5.
χ² yang besar bermaksud data tidak sepadan dengan H₀. Tolak H₀ jika χ² lebih besar daripada nilai genting daripada jadual. Pada α = 0.05:
df 1: 3.841, df 2: 5.991, df 3: 7.815
df 4: 9.488, df 5: 11.070, df 6: 12.592
Bagi dadu, 4.2 berada di bawah 11.070, jadi tiada bukti bahawa ia tidak adil.
Semakan kendiri Satu kategori mempunyai O = 14 dan E = 10. Berapakah sumbangannya kepada χ²?
0.4
1.6
16
4
Jawapan: 1.6. (14 − 10)²/10 = 16/10 = 1.6. Jika terlupa menguasaduakan, hasilnya 0.4, dan jika terlupa membahagi dengan E, hasilnya 16.
3Ujian ketakbersandaran
Jadual kontingensi mengira kes mengikut dua pemboleh ubah serentak, seperti rawatan (baris) dan keputusan (lajur). H₀: kedua-dua pemboleh ubah adalah tak bersandar.
Jika tak bersandar, bilangan jangkaan dalam setiap sel diperoleh daripada jumlah:
E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan
Kemudian χ² dihitung dengan rumus yang sama seperti tadi, bagi setiap sel dalam jadual, tanpa jumlah.
df = (r − 1)(c − 1)
Di sini r ialah bilangan baris dan c bilangan lajur, tidak termasuk jumlah. Jadual 2×2 mempunyai df = 1.
Semakan kendiri Dalam jadual dengan jumlah besar 120, satu sel mempunyai jumlah baris 40 dan jumlah lajur 30. Berapakah bilangan jangkaannya?
10
1200
3
70
Jawapan: 10. E = 40 · 30 / 120 = 1200/120 = 10. 1200 terlupa membahagi dengan jumlah besar.
4Kaedah langkah demi langkah
Nyatakan H₀: kadar yang dituntut adalah betul (kebagusan penyuaian), atau pemboleh ubah adalah tak bersandar.
Hitung setiap bilangan jangkaan: E = n · p, atau jumlah baris × jumlah lajur / jumlah besar.
Bagi setiap sel, hitung (O − E)²/E. Jumlahkan semuanya untuk mendapat χ².
Cari df: k − 1 bagi kebagusan penyuaian, (r − 1)(c − 1) bagi ketakbersandaran.
Cari nilai genting bagi df itu pada α = 0.05.
Tolak H₀ jika χ² lebih besar daripada nilai genting. Nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Semak: bilangan jangkaan dalam setiap baris dan lajur berjumlah sama dengan jumlah bilangan cerapan.
5Contoh terselesai
Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.
Contoh terselesai
Dalam satu ujian klinikal, 120 pesakit mendapat ubat baharu (baris A) dan 100 mendapat plasebo (baris B). Lajur 1 mengira pesakit yang bertambah baik, lajur 2 yang tidak. Uji pada α = 0.05 sama ada keputusan itu tak bersandar daripada rawatan.
1
Baca jadual
Jumlah baris: 120 dan 100. Jumlah lajur: 110 dan 110. Jumlah besar: 220.
1.173 lebih kecil daripada 3.841, jadi χ² tidak berada dalam rantau penolakan. Jangan tolak H₀.
Jawapan
χ² ≈ 1.17 < 3.841: tiada bukti signifikan bahawa pemulihan bergantung pada rawatan.
6Kesilapan lazim
Menggunakan peratusan atau kadar dan bukan bilangan. χ² hanya berfungsi dengan bilangan.
Membahagi dengan O dan bukan dengan E.
Memasukkan baris atau lajur jumlah dalam hasil tambah.
Menggunakan df yang salah: bagi jadual ia ialah (r − 1)(c − 1), bukan bilangan sel tolak satu.
Menolak H₀ apabila χ² lebih kecil daripada nilai genting. Hanya χ² yang besar merupakan bukti menentang H₀.
Semakan kendiri Ujian ketakbersandaran menggunakan jadual dengan 3 baris dan 4 lajur (tidak termasuk jumlah). Berapakah darjah kebebasannya?
11
12
5
6
Jawapan: 6. df = (3 − 1)(4 − 1) = 2 · 3 = 6. 11 ialah bilangan sel tolak satu, iaitu peraturan kebagusan penyuaian yang tersilap digunakan pada jadual.
7Rupa soalan peperiksaan
Mudah: kebagusan penyuaian. Bilangan muka dadu atau warna gula-gula berbanding kadar yang dituntut; hitung χ².
Sederhana: ujian ketakbersandaran. Hitung bilangan jangkaan daripada jumlah, kemudian χ², tanpa pembetulan kesinambungan.
Sukar: keputusan nilai genting. Cari df dan nilai genting χ²crit pada α = 0.05 daripada jadual.
Semakan pantas: χ² tidak pernah negatif, dan ia sifar hanya apabila setiap bilangan cerapan sama dengan bilangan jangkaannya.
Sebiji dadu dilambung 300 kali untuk menguji sama ada ia adil. Kiraan bagi setiap muka ditunjukkan. Hitung statistik kebagusan penyuaian khi kuasa dua χ² bagi H₀: setiap muka berkebarangkalian 1/6.
n = 300k = 6
Cari nilai χ²
Tunjukkan petunjuk
Kiraan jangkaan di bawah H₀: E = n·p bagi setiap kategori.
E = 50, 50, 50, 50, 50, 50.
Tambahkan (O − E)²/E bagi semua kategori.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
df = 5. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 11.070, maka H₀ tidak ditolak.
Contoh 2Sederhana
Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.
N = 1802 × 2
Cari nilai χ²
Tunjukkan petunjuk
Kiraan jangkaan bagi setiap sel: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan.
E = 32, 48 | 40, 60.
Tambahkan (O − E)²/E bagi semua 4 sel.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
df = 1. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 3.841, maka H₀ (kebebasan) tidak ditolak.
Contoh 3Sukar
Satu ujian kebebasan khi kuasa dua dijalankan pada jadual kontingensi dengan 2 baris dan 6 lajur (tidak termasuk jumlah). Berapakah darjah kebebasan df bagi ujian itu?
2 × 6
Cari nilai df
Tunjukkan petunjuk
Darjah kebebasan mengira bilangan sel yang boleh berubah secara bebas apabila jumlah (dan sebarang parameter yang dianggarkan) ditetapkan.
Kebagusan penyuaian: k − 1, tolak satu bagi setiap parameter yang dianggarkan.
Kebebasan: (r − 1)(c − 1).
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Darjah kebebasan
df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5
Jawapan
df = 5
Soalan dan jawapan
Apakah Ujian khi kuasa dua?
Ujian khi kuasa dua (χ²) membandingkan bilangan. Ia menanyakan sama ada bilangan yang anda cerap berbeza daripada bilangan yang dijangka lebih daripada kebetulan.
Contoh: anda membaling dadu 60 kali. Jika dadu itu adil, setiap muka sepatutnya muncul kira-kira 60 · 1/6 = 10 kali. Itulah bilangan jangkaan E.
Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Ujian khi kuasa dua langkah demi langkah?
Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.
Apakah kesilapan lazim dalam Ujian khi kuasa dua?
Bahagikan setiap beza kuasa dua dengan kiraan jangkaan E, bukan kiraan cerapan O.
Bahagikan setiap beza kuasa dua dengan kiraan jangkaannya sendiri E sebelum menambah, bukan jumlahnya dengan n.
Kiraan jangkaan diperoleh daripada jumlah sisi, bukan dengan membahagikan jumlah secara sama rata: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan.
Apakah yang diliputi oleh latihan Ujian khi kuasa dua?
Mudah: kebagusan penyuaian
Sederhana: ujian kebebasan
Sukar: keputusan nilai genting
Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
Cara latihan berfungsi
Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.