Nombor kompleks: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah
Soalan latihan Nombor kompleks percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: aritmetik dalam bentuk Cartes, bentuk kutub dan eksponen, De Moivre, punca dan persamaan.
Soalan latihan percumaMudah
Bagi z₁ = 1 + j4 dan z₂ = 5 + j6, cari bahagian khayalan w = 2z₁ + 5z̄₂.
Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Kesilapan lazim
Menganggap j² sebagai +1 apabila mengembangkan.
Membahagi bahagian nyata dan bahagian khayalan secara berasingan.
Mengambil atan(b/a) sebagai argumen bagi titik di separuh satah kiri.
Mencampuradukkan darjah dan radian, terutamanya dalam ejθ.
Memberi hanya satu punca zⁿ = w, atau terlupa mengambil punca ke-n bagi modulus.
Formula utama
Bentuk Cartes
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Persamaan x² = −1 tidak mempunyai penyelesaian nyata. Jurutera menambah nombor baharu j dengan j² = −1. Ahli matematik menulis i; kejuruteraan menggunakan j kerana i sudah bermaksud arus.
Nombor kompleks berbentuk z = a + jb. Nombor a ialah bahagian nyata dan b ialah bahagian khayalan: Re(z) = a dan Im(z) = b.
Anda boleh melukis z sebagai titik (a, b) dalam rajah Argand: bahagian nyata sepanjang paksi mengufuk, bahagian khayalan sepanjang paksi menegak.
Jarak dari asalan ialah modulus |z| = √(a² + b²). Sudut dari paksi nyata positif ialah argumen θ. Imej cermin pada paksi nyata, z̄ = a − jb, ialah konjugat.
Semakan kendiri Apakah modulus z = 3 − j4?
25
5
7
−1
Jawapan: 5. |z| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5. Menambah 3 dan 4 memberi 7, dan terlupa punca kuasa dua memberi 25.
2Menambah, mendarab dan membahagi
Tambah dan tolak bahagian demi bahagian: (2 + j3) + (1 − j4) = 3 − j.
Darab dengan mengembangkan kurungan dan gantikan j² dengan −1:
Jawapan: 2. Ia nombor didarab konjugatnya: 1² + 1² = 2. Menulis 1 − j² sebagai 1 − 1 = 0 bermakna terlupa bahawa j² = −1, maka −j² = +1.
3Bentuk kutub dan eksponen
Satu titik juga boleh diberi melalui jarak dan sudutnya: z = r∠θ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes dengan a = r cos θ dan b = r sin θ.
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
Bentuk terakhir menggunakan rumus Euler ejθ = cos θ + j sin θ. Dalam bentuk eksponen, θ mestilah dalam radian.
Perhatikan kuadran. Kalkulator memberi atan(b/a) antara −90° dengan 90°. Jika a < 0 titik itu berada di sebelah kiri, maka tambah atau tolak 180°.
Contoh: z = −2 + j2. Maka r = √8 = 2.828. Sudut rujukan ialah atan(2/2) = 45°, dan titik itu berada dalam kuadran kedua, maka θ = 180° − 45° = 135°.
Semakan kendiri Apakah argumen z = −1 − j, antara −180° dengan 180°?
135°
45°
−135°
−45°
Jawapan: −135°. Titik itu terletak dalam kuadran ketiga. Sudut rujukan ialah 45°, maka θ = −(180° − 45°) = −135°. atan(−1/−1) = 45° menunjuk ke kuadran yang bertentangan.
4Pendaraban dalam bentuk kutub, kuasa dan punca
Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen. Untuk pembahagian, bahagikan modulus dan tolak argumen.
(r₁∠θ₁)(r₂∠θ₂) = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂)
Mengulangi ini memberi teorem De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ.
Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca. Kesemuanya mempunyai modulus R1/n dan argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1.
Untuk z³ = 8 = 8∠0°: modulusnya 2 dan argumennya 0°, 120° dan 240° (iaitu −120°). Punca-punca itu membentuk segi tiga sekata pada bulatan.
Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks −p/2 ± j√(q − p²/4). Polinomial nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat.
5Contoh terselesai
Kuasa nombor seperti 1 + j jauh lebih cepat dalam bentuk kutub berbanding dengan mengembangkan secara pendaraban.
Contoh terselesai
Hitung (1 + j)6 dengan teorem De Moivre.
1
Tulis 1 + j dalam bentuk kutub
r = √(1² + 1²) = √2. Titik itu berada dalam kuadran pertama, maka θ = atan(1/1) = 45°.
1 + j = √2∠45°
2
Gunakan De Moivre
Naikkan modulus kepada kuasa 6 dan darab sudut dengan 6.
(√2)6 = 8, 6·45° = 270°
3
Bawa sudut ke dalam julat
270° ialah arah yang sama dengan −90°.
(1 + j)6 = 8∠−90°
4
Kembali kepada bentuk Cartes
8(cos(−90°) + j sin(−90°)) = 8(0 − j) = −j8
Jawapan
(1 + j)6 = −j8: bahagian nyata 0, bahagian khayalan −8.
6Kesilapan lazim dan soalan peperiksaan
Terlupa bahawa j² = −1 apabila mengembangkan, sehingga satu sebutan berakhir dengan tanda yang salah.
Membahagi bahagian demi bahagian: (a + jb)/(c + jd) bukan a/c + jb/d. Gunakan konjugat.
Mengambil atan(b/a) sebagai argumen apabila a < 0. Lakar titik itu dahulu.
Menggunakan darjah dalam ejθ, atau membiarkan kalkulator dalam radian untuk r∠θ yang diberi dalam darjah.
Dalam De Moivre: terlupa menaikkan modulus kepada kuasa, atau memberi hanya satu punca zⁿ = w.
Soalan Mudah meminta satu bahagian hasil darab, hasil bahagi atau hasil tambah. Soalan Sederhana menukar antara bentuk Cartes, kutub dan eksponen. Soalan Sukar menggunakan De Moivre, punca ke-n dan persamaan polinomial.
Bagi z₁ = −7 + j dan z₂ = 4 + j2, cari bahagian nyata hasil darab z₁·z₂.
z₁ = −7 + jz₂ = 4 + j2
Cari nilai Re(z₁z₂)
Tunjukkan petunjuk
Kembangkan kurungan seperti (a + b)(c + d), memberi empat sebutan.
Gantikan j² dengan −1 supaya satu daripada empat sebutan menjadi nyata.
(−7 + j)(4 + j2) = (−28) + j(−14) + j4 + j²·2
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Nombor kompleks: z = a + jb mempunyai bahagian nyata a dan bahagian khayalan b, dengan j² = −1 (ahli matematik menulis i). Tambah dan tolak bahagian demi bahagian; kembangkan kurungan dan gantikan j² dengan −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut, z̄ = a − jb, kerana z·z̄ = a² + b² ialah nyata. Pada rajah Argand, z ialah titik (a, b): jaraknya dari asalan ialah modulus |z| = √(a² + b²), dan sudut dari paksi nyata positif ialah argumen θ.
Tulis z = 4∠160° dalam bentuk Cartes a + jb dan beri bahagian khayalan b.
r = 4θ = 160°
Cari nilai b
Tunjukkan petunjuk
a = r·cos θ dan b = r·sin θ.
sin(160°) = 0.342
Darab dengan r = 4.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.
Komponen
a = 4·cos(160°) = −3.759
b = 4·sin(160°) = 1.368
Bentuk Cartes
z = −3.759 + j1.368
b = 1.368
Jawapan
b = 1.368
Contoh 3Sukar
Punca bagi zⁿ = w dengan n = 4 dan w = 16∠−60° ialah zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2, 3. Cari bahagian nyata z₂.
w = 16∠−60°n = 4k = 2
Cari nilai Re(z₂)
Tunjukkan petunjuk
Setiap punca mempunyai modulus R1/n = 161/4 = 2.
Argumen z₂ ialah (φ + 360°·k)/n dengan φ = −60°, k = 2 dan n = 4.
a = R1/n·cos(165°).
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.
Modulus punca-punca
161/4 = 2
Argumen punca
θ₂ = (−60° + 360°·2)/4 = 165°
Bentuk Cartes
z₂ = 2·(cos 165° + j sin 165°) = −1.932 + j0.5176
Re(z₂) = −1.932
Jawapan
Re(z₂) = −1.932
4 punca terletak pada bulatan berjejari 2, berjarak 90°.
Soalan dan jawapan
Apakah Nombor kompleks?
Persamaan x² = −1 tidak mempunyai penyelesaian nyata. Jurutera menambah nombor baharu j dengan j² = −1. Ahli matematik menulis i; kejuruteraan menggunakan j kerana i sudah bermaksud arus.
Anda boleh melukis z sebagai titik (a, b) dalam rajah Argand: bahagian nyata sepanjang paksi mengufuk, bahagian khayalan sepanjang paksi menegak.
Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Nombor kompleks langkah demi langkah?
Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Apakah kesilapan lazim dalam Nombor kompleks?
Menganggap j² sebagai +1 apabila mengembangkan.
Membahagi bahagian nyata dan bahagian khayalan secara berasingan.
Mengambil atan(b/a) sebagai argumen bagi titik di separuh satah kiri.
Mencampuradukkan darjah dan radian, terutamanya dalam ejθ.
Memberi hanya satu punca zⁿ = w, atau terlupa mengambil punca ke-n bagi modulus.
Apakah yang diliputi oleh latihan Nombor kompleks?
Mudah: aritmetik dalam bentuk Cartes
Sederhana: bentuk kutub dan eksponen
Sukar: De Moivre, punca dan persamaan
Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
Cara latihan berfungsi
Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.