Vektor: hasil darab titik & silang: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah

Soalan latihan Vektor: hasil darab titik & silang percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: magnitud dan komponen, hasil darab titik, hasil darab silang dan momen.

Soalan latihan percumaMudah
xyza

Cari magnitud |a| vektor a = (6, −5, 9).

a = (6, −5, 9)
Soalan seterusnya →
Berlatih Vektor: hasil darab titik & silang secara percumaBerlatih Vektor: hasil darab titik & silang sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.

Apa yang anda latih

  1. Mudahmagnitud dan komponen
  2. Sederhanahasil darab titik
  3. Sukarhasil darab silang dan momen

Cara menyelesaikan soalan Vektor: hasil darab titik & silang

  1. Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
  2. Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
  3. Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kesilapan lazim

  • Menambah magnitud dan bukan komponen.
  • Tersilap tanda komponen tengah (y) hasil darab silang.
  • Menggunakan kedudukan titik dan bukan r = A − O dalam momen.
  • Mengambil arctan tanpa menyemak sukuan.

Formula utama

Magnitud
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor unit
û = a/|a|
Komponen daripada sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil darab titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b
a·b/|b|
Kerja
W = F·d
Hasil darab silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O
MO = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped
V = |a·(b × c)|

Pelajari Vektor: hasil darab titik & silang dari awal

1Apakah vektor

Sesetengah kuantiti hanya memerlukan satu nombor: jisim 5 kg atau suhu 20 °C. Ini ialah skalar.

Kuantiti lain juga memerlukan arah. Daya 40 N menolak ke atas sangat berbeza daripada 40 N menolak ke sisi. Ini ialah vektor.

Anda menerangkan vektor dengan komponennya: sejauh mana ia mencapai sepanjang x, sepanjang y dan sepanjang z. Vektor a = (4, 3, 0) mencapai 4 unit sepanjang x, 3 sepanjang y dan 0 sepanjang z.

xyaax​ = 4ay​ = 3θO

Daya, sesaran dan halaju semuanya vektor. Jurutera menggunakan matematik vektor untuk menambah daya, mencari sudut dan mengira momen dalam tiga dimensi.

Vektor ditambah komponen demi komponen: (1, 2, 0) + (3, −1, 4) = (4, 1, 4). Beginilah anda mencari paduan beberapa daya.

Semakan kendiri Apakah panjang vektor a = (3, 4, 0)?
  1. 1
  2. 25
  3. 5
  4. 7

Jawapan: 5. Panjangnya ialah √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5. Menambah komponen (7) adalah salah kerana ia berserenjang, dan 25 terlupa punca kuasa dua.

2Panjang, arah dan komponen

Magnitud |a| ialah panjang vektor. Ia ialah Pythagoras dalam tiga dimensi:

|a| = √(ax² + ay² + az²)

Vektor unit mempunyai panjang 1 dan menghala ke arah yang sama. Anda mendapatnya dengan membahagi setiap komponen dengan magnitud:

û = a / |a|

Bagi a = (0, 3, 4) magnitudnya 5, maka û = (0, 0.6, 0.8). Semak: 0.6² + 0.8² = 1.

Daya dalam satah xy sering diberi sebagai saiz F dan sudut θ, diukur melawan arah jam dari paksi x positif. Komponennya ialah:

Fx = F·cos θ Fy = F·sin θ

Kosinus dan sinus memberi tanda secara automatik. Daya pada 120° mempunyai komponen x negatif kerana cos 120° = −0.5.

Kembali daripada komponen kepada sudut, arctan(Ry/Rx) hanya memberi jawapan antara −90° dan 90°. Jika Rx negatif, tambah 180°. Jika hanya Ry negatif, tambah 360°.

Semakan kendiri Apakah komponen y bagi vektor unit dalam arah a = (0, 3, 4)?
  1. 0.12
  2. 0.43
  3. 0.6
  4. 3

Jawapan: 0.6. Bahagikan dengan magnitud 5: 3/5 = 0.6. 3 terlupa membahagi, 0.12 membahagi dengan |a|² = 25, dan 0.43 membahagi dengan hasil tambah komponen (7).

3Hasil darab titik dan hasil darab silang

Terdapat dua cara untuk mendarabkan dua vektor. Hasil darab titik memberi nombor. Hasil darab silang memberi vektor baharu.

a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ

Di sini θ ialah sudut antara dua vektor. Hasil darab titik mengukur seberapa banyak vektor menghala ke arah yang sama. Ia sifar apabila ia berserenjang.

dFθ|F|·cos θ
  • Sudut: cos θ = a·b / (|a|·|b|).
  • Unjuran skalar a ke atas b (bahagian a sepanjang b): a·b / |b|.
  • Kerja yang dilakukan oleh daya malar sepanjang sesaran: W = F·d.
  • Dua vektor berserenjang apabila a·b = 0.

Hasil darab silang a × b ialah vektor berserenjang dengan kedua-dua a dan b. Panjangnya sama dengan luas segi empat selari yang dibentangkan oleh dua vektor itu.

a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
aba × bA

Bagi a = (1, 2, 0) dan b = (3, 1, 0): a × b = (2·0 − 0·1, 0·3 − 1·0, 1·1 − 2·3) = (0, 0, −5). Segi empat selari itu mempunyai luas 5 dan segi tiga separuh daripadanya, 2.5.

Susunan penting: b × a = −(a × b). Momen daya F yang bertindak pada titik A pada titik O ialah M = r × F, dengan r = A − O.

Semakan kendiri Bagi a = (2, 1, 0) dan b = (1, 4, 0), apakah komponen z bagi a × b?
  1. 6
  2. 7
  3. 9
  4. −7

Jawapan: 7. komponen z = axby − aybx = 2·4 − 1·1 = 7. −7 ialah b × a (susunan ditukar), 6 ialah hasil darab titik, dan 9 menambah kedua-dua hasil darab dan bukannya menolak.

4Kaedah langkah demi langkah

  1. Tulis setiap vektor dalam komponen. Untuk daya yang diberi saiz dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
  2. Jika soalan memberi titik, bina vektor daripadanya: vektor dari A ke B ialah B − A.
  3. Tentukan alat yang anda perlukan. Panjang dan arah: magnitud dan vektor unit. Sudut, unjuran dan kerja: hasil darab titik. Luas, vektor berserenjang dan momen: hasil darab silang.
  4. Tulis rumus dahulu, kemudian masukkan nombor satu komponen pada satu masa. Kekalkan tanda dalam kurungan.
  5. Semak keputusan: vektor unit mempunyai panjang 1, a × b berserenjang dengan a (maka a·(a × b) = 0), dan sudut antara vektor terletak antara 0° dan 180°.

Untuk vektor unit yang berserenjang dengan dua vektor, ambil n = a × b dan bahagikan dengan panjangnya. Jika soalan mahu komponen z positif dan anda negatif, balikkan semua tanda.

Isi padu kotak (parallelepiped) dengan tepi a, b dan c ialah |a·(b × c)|: hasil darab silang dahulu, kemudian hasil darab titik.

5Contoh terselesai

Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.

Contoh terselesai

Daya malar F = (6, 2, −3) N menolak objek dalam garis lurus dari titik A(1, 0, 2) ke titik B(3, 4, 2). Koordinat dalam meter. Cari kerja W yang dilakukan oleh daya dan sudut θ antara daya dan sesaran.

1

Bina sesaran

Sesaran ialah vektor dari A ke B: tolak permulaan daripada penghujung.

d = B − A = (3 − 1, 4 − 0, 2 − 2) = (2, 4, 0) m
2

Bekerja dengan hasil darab titik

Kerja ialah hasil darab titik daya dan sesaran. Darabkan komponen yang sepadan dan tambah.

W = F·d = 6·2 + 2·4 + (−3)·0 = 12 + 8 + 0 = 20 J
3

Kedua-dua magnitud

|F| = √(6² + 2² + (−3)²) = √49 = 7 N
|d| = √(2² + 4² + 0²) = √20 ≈ 4.472 m
4

Sudut

dFθ|F|·cos θ

Gunakan bentuk lain hasil darab titik, F·d = |F|·|d|·cos θ, dan selesaikan untuk cos θ.

cos θ = 20 / (7 · 4.472) = 0.6389
θ = arccos 0.6389 ≈ 50.3°
5

Semak jawapan

Kerja positif, maka sudut mesti kurang daripada 90°. Memang begitu.

Bahagian daya sepanjang gerakan ialah |F|·cos θ = 7 · 0.6389 ≈ 4.47 N. Darab jarak 4.472 m ini memberi 20 J sekali lagi.

Jawapan

W = 20 J dan θ ≈ 50.3°.

6Kesilapan lazim

  • Menambah magnitud dan bukannya komponen. Dua daya 3 N dan 4 N pada sudut tegak memberi 5 N, bukan 7 N.
  • Menggunakan koordinat titik itu dan bukannya r = A − O dalam momen.
  • Tersilap tanda komponen tengah (y) hasil darab silang. Ia azbx − axbz, bukan sebaliknya.
  • Menukar susunan dalam hasil darab silang. b × a menghala ke arah bertentangan dengan a × b.
  • Mengambil arctan untuk arah tanpa menyemak kuadran vektor itu.
  • Terlupa ½ untuk luas segi tiga: ia separuh daripada |AB × AC|.
Semakan kendiri Daya F = (0, 10, 0) N bertindak pada titik A(3, 0, 0) m. Berapakah saiz momennya pada O(1, 0, 0) m?
  1. 10 N·m
  2. 20 N·m
  3. 30 N·m
  4. 40 N·m

Jawapan: 20 N·m. r = A − O = (2, 0, 0) m, maka M = r × F = (0, 0, 2·10) = (0, 0, 20) N·m. Menggunakan titik A itu sendiri sebagai r memberi 30 N·m, A + O memberi 40 N·m, dan O sahaja memberi 10 N·m.

7Rupa soalan peperiksaan

  • Mudah: magnitud dan komponen. Panjang vektor, satu komponen vektor unit, komponen daya yang diberi saiz dan sudut, atau saiz atau arah paduan dua daya.
  • Sederhana: hasil darab titik. Hasil darab titik, sudut antara dua vektor, unjuran skalar, kerja yang dilakukan oleh daya antara dua titik, atau nilai k yang menjadikan dua vektor berserenjang.
  • Sukar: hasil darab silang dan momen. Satu komponen a × b, luas segi empat selari atau segi tiga, momen daya pada satu titik, vektor normal unit, atau isi padu kotak daripada hasil darab tiga.

Untuk soalan kebersiserenjangan, tetapkan a·b = 0. Ia memberi satu persamaan linear dalam k.

Untuk segi tiga dengan bucu A, B dan C, gunakan vektor tepi AB = B − A dan AC = C − A. Luasnya ialah ½·|AB × AC|.

Belajar langkah demi langkah dalam aplikasiBelajar langkah demi langkah dalam aplikasi

Contoh penyelesaian

Contoh 1Mudah
xy135°F1​F2​

Dua daya bertindak pada satu titik dalam satah xy: F₁ = 110 N pada 0° dan F₂ = 190 N pada 135°, kedua-duanya diukur lawan arah jam dari paksi-x positif. Cari arah φ paduan kedua-duanya, diukur lawan arah jam dari paksi-x positif (antara 0° dengan 360°).

F1 = 110 N, θ1 = 0°F2 = 190 N, θ2 = 135°

Cari nilai φ (°)

Tunjukkan petunjuk
  1. Pecahkan setiap daya kepada komponen-x dan komponen-y.
  2. Tambah komponen-x dan komponen-y secara berasingan.
  3. Rₓ = −24.35 N, Ry = 134.4 N.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Vectors: a vector a = (ax, ay, az) has magnitude |a| = √(ax² + ay² + az²), and the unit vector in its direction is û = a/|a|. A vector of magnitude F at an angle θ measured anticlockwise from the positive x-axis has components Fx = F·cos θ and Fy = F·sin θ. Vectors add component by component.

Komponen paduan

Rₓ = 110·cos 0° + 190·cos 135° = −24.35 N
Ry = 110·sin 0° + 190·sin 135° = 134.4 N

Arah

Rₓ negatif, maka paduan menghala ke sukuan kedua atau ketiga: tambah 180° pada sudut kalkulator.

arctan(Ry/Rₓ) = arctan(134.4/−24.35) = −79.73°
φ = 100.3°

Jawapan

φ = 100.3°
Contoh 2Sederhana
xyzab

Cari nilai k supaya vektor a = (−4, −4, 0) dan b = (k, 6, 4) berserenjang.

a = (−4, −4, 0)b = (k, 6, 4)

Cari nilai k

Tunjukkan petunjuk
  1. Vektor berserenjang mempunyai hasil darab titik sifar.
  2. Tulis a·b = 0 dengan k sebagai yang tidak diketahui dan selesaikan persamaan linear.
  3. (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik sama dengan sifar

a·b = (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0
−24 + (−4)·k = 0

Selesaikan untuk k

k = −(−24)/(−4) = −6

Jawapan

k = −6
Contoh 3Sukar
xyzABC

Cari luas A segi tiga dengan bucu A(−3, −4, −1), B(−4, 3, −3) dan C(1, 4, −4). Koordinat dalam meter.

A(−3, −4, −1)B(−4, 3, −3)C(1, 4, −4)

Cari nilai A (m²)

Tunjukkan petunjuk
  1. Bentuk dua vektor sisi dari bucu yang sama: AB = B − A dan AC = C − A.
  2. Luasnya ialah ½·|AB × AC|.
  3. AB × AC = (−5, −11, −36).
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Vektor sisi

AB = B − A = (−1, 7, −2)
AC = C − A = (4, 8, −3)

Hasil darab silang

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 7·(−3) − (−2)·8 = −5
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = (−2)·4 − (−1)·(−3) = −11
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = (−1)·8 − 7·4 = −36
|AB × AC| = √((−5)² + (−11)² + (−36)²) = 37.97

Luas segi tiga

A = ½·37.97 = 18.99 m²

Jawapan

A = 18.99 m²

Soalan dan jawapan

Apakah Vektor: hasil darab titik & silang?

Sesetengah kuantiti hanya memerlukan satu nombor: jisim 5 kg atau suhu 20 °C. Ini ialah skalar.

Kuantiti lain juga memerlukan arah. Daya 40 N menolak ke atas sangat berbeza daripada 40 N menolak ke sisi. Ini ialah vektor.

Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Vektor: hasil darab titik & silang langkah demi langkah?
  1. Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
  2. Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
  3. Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.
Apakah kesilapan lazim dalam Vektor: hasil darab titik & silang?
  • Menambah magnitud dan bukan komponen.
  • Tersilap tanda komponen tengah (y) hasil darab silang.
  • Menggunakan kedudukan titik dan bukan r = A − O dalam momen.
  • Mengambil arctan tanpa menyemak sukuan.
Apakah yang diliputi oleh latihan Vektor: hasil darab titik & silang?
  • Mudah: magnitud dan komponen
  • Sederhana: hasil darab titik
  • Sukar: hasil darab silang dan momen

Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.

Cara latihan berfungsi

  • Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
  • Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.

Kursus dengan topik ini

StatikMatematik KejuruteraanMatematik Kejuruteraan 2

Lebih banyak topik dalam Matematik & statistik

HadTerbitanPengoptimumanKamiranJujukan & siriKalkulus multipemboleh ubahPersamaan pembezaanNombor kompleksKaedah berangkaMatriks & penentuLogik proposisi & pembuktianSet, hubungan & fungsiTeori grafTeori nombor & aritmetik moduloKebarangkalianStatistik perihalanTaburan normalSelang keyakinanUjian hipotesis & selang keyakinanRegresi linear & korelasiUjian khi kuasa dua

Lembaran kerja boleh cetak

Lembaran kerja Vektor: hasil darab titik & silang dengan jawapan
Berlatih Vektor: hasil darab titik & silang secara percumaBerlatih Vektor: hasil darab titik & silang sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.