Persamaan pembezaan: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah

Soalan latihan Persamaan pembezaan percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: pertumbuhan dan pereputan eksponen, Hukum penyejukan Newton, linear peringkat pertama.

Soalan latihan percumaMudah
ty1

Sistem jisim–spring–peredam diperihalkan oleh y″ + 4.8y′ + 4y = 0. Bandingkannya dengan y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 dan cari nisbah redaman ζ.

y″ + 4.8y′ + 4y = 0
Soalan seterusnya →
Berlatih Persamaan pembezaan secara percumaBerlatih Persamaan pembezaan sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.

Apa yang anda latih

  1. Mudahpertumbuhan dan pereputan eksponen
  2. SederhanaHukum penyejukan Newton
  3. Sukarlinear peringkat pertama

Formula utama

Pertumbuhan/pereputan eksponen
dy/dt = ky → y = y0ekt
Separuh hayat
k = ln 2 / t½
Hukum penyejukan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor pengamiran
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m

Pelajari Persamaan pembezaan dari awal

Sebelum ini: Terbitan, Kamiran

1Apakah persamaan pembezaan

Persamaan pembezaan menghubungkan sesuatu kuantiti dengan kadar perubahannya sendiri. Ia menerangkan bagaimana sesuatu berubah, bukan apa ia.

Bakteria membahagi, maka koloni yang lebih besar tumbuh lebih pantas. Kadar pertumbuhan berkadar dengan bilangan sel N:

dN/dt = k · N

Di sini dN/dt ialah terbitan N terhadap masa t, dan k ialah pemalar kadar. Dengan k = 0.4 j⁻¹ dan N = 1000 sel, koloni bertambah sebanyak 400 sel sejam pada saat itu.

Menyelesaikan persamaan bermakna mencari fungsi N(t) itu sendiri. Anda juga memerlukan nilai permulaan, seperti N(0) = 200. Ini dipanggil syarat awal.

Semakan kendiri Populasi mengikut dN/dt = 0.2 · N. Pada masa ini N = 500. Seberapa pantas ia bertumbuh?
  1. 0.2 sejam
  2. 100 sejam
  3. 2500 sejam
  4. 500 sejam

Jawapan: 100 sejam. Masukkan nombor ke dalam persamaan: dN/dt = 0.2 · 500 = 100. Membahagi 500 dengan 0.2 memberi 2500, yang menggunakan k secara terbalik.

2Pertumbuhan dan pereputan eksponen

Persamaan dy/dt = k·y sentiasa mempunyai penyelesaian yang sama, fungsi eksponen:

y(t) = y0 · ekt

Di sini y0 ialah nilai pada t = 0. k positif bermakna pertumbuhan. Bagi pereputan persamaannya ialah dy/dt = −k·y dan penyelesaiannya ialah y = y0e−kt.

Pereputan radioaktif sering diberi oleh separuh hayatnya t½: masa selepas itu separuh bahan tinggal. Pemalar kadar diperoleh daripadanya:

k = ln 2 / t½

Untuk mencari masa, ambil logaritma tabii kedua-dua belah:

t = ln(y / y0) / k

Contohnya, 200 sel yang bertumbuh dengan k = 0.4 j⁻¹ mencapai 1000 sel selepas t = ln(5)/0.4 ≈ 4.02 j.

Semakan kendiri Sesuatu bahan mempunyai separuh hayat 10 hari. Anda bermula dengan 80 mg. Berapa banyak yang tinggal selepas 20 hari?
  1. 0 mg
  2. 20 mg
  3. 40 mg
  4. 60 mg

Jawapan: 20 mg. 20 hari ialah dua separuh hayat: 80 → 40 → 20 mg. 0 mg datang daripada menyangka dua separuh menjadikan keseluruhan; jumlah itu separuh setiap kali.

3Penyejukan dan persamaan linear

Hukum penyejukan Newton: objek panas menyejuk lebih pantas apabila ia jauh lebih panas daripada bilik. Dengan suhu bilik Ta:

dT/dt = −k · (T − Ta) ⇒ T(t) = Ta + (T0 − Ta) · e−kt

Beza T − Ta mereput secara eksponen, maka suhu bergerak ke arah suhu bilik dan tidak pernah jatuh di bawahnya.

Untuk mencari k daripada satu pengukuran, masukkan nilai yang diketahui dan ambil ln: k = −ln[(T1 − Ta)/(T0 − Ta)] / t1.

Persamaan linear peringkat pertama mempunyai bentuk y′ + p(x)·y = q(x). Darabkannya dengan faktor pengamiran μ:

μ = e∫p dx, (μ·y)′ = μ·q

Kemudian kamirkan kedua-dua belah dan bahagikan dengan μ. Bagi p = 2/x, μ = e2 ln x = x².

Semakan kendiri Teh pada 90 °C ditinggalkan dalam bilik pada 20 °C. Suhu manakah yang didekatinya selepas masa yang sangat lama?
  1. 0 °C
  2. 20 °C
  3. 55 °C
  4. 90 °C

Jawapan: 20 °C. Sebutan (T0 − Ta)e−kt menuju 0, maka T menghampiri Ta = 20 °C. 0 °C ialah jawapan jika anda terlupa suhu bilik.

4Kaedah langkah demi langkah

  1. Kenal pasti jenisnya: dy/dt = ky (pertumbuhan atau pereputan), penyejukan Newton, atau y′ + p(x)y = q(x).
  2. Tulis penyelesaian piawai bagi jenis itu.
  3. Gunakan data yang diberi untuk mencari pemalar: y0 daripada permulaan, k daripada separuh hayat atau pengukuran kedua.
  4. Jawab soalan: masukkan masa untuk mencari nilai, atau gunakan ln untuk mencari masa.
  5. Semak unit k (j⁻¹, min⁻¹) dengan unit t.

Bagi persamaan linear: cari μ, kamirkan (μy)′ = μq, tambah pemalar C, kemudian gunakan syarat awal untuk mencari C.

5Contoh terselesai

Ikuti setiap langkah. Cuba ramalkan langkah seterusnya sebelum anda membukanya.

Contoh terselesai

Penjejak radioaktif mempunyai separuh hayat 8 hari. Satu sampel mengandungi 60 mg pada permulaan. Pereputan mengikut dm/dt = −k·m. Berapa banyak m yang tinggal selepas 12 hari?

1

Kenal pasti jenisnya

Ini ialah pereputan eksponen, maka penyelesaiannya ialah:

m(t) = m0 · e−kt, m0 = 60 mg
2

Cari k daripada separuh hayat

k = ln 2 / 8 = 0.6931 / 8 = 0.08664 day⁻¹
3

Masukkan masa

k · t = 0.08664 · 12 = 1.0397
m = 60 · e−1.0397 = 60 · 0.3536 = 21.21 mg
4

Semak jawapan

12 hari ialah 1.5 separuh hayat. Selepas 8 hari tinggal 30 mg dan selepas 16 hari 15 mg, maka 21.2 mg terletak di antaranya, seperti yang dijangka.

60 · 0.51.5 = 21.21 mg
tm608301615247.51221.2
Jawapan

m ≈ 21.2 mg tinggal selepas 12 hari.

6Kesilapan lazim

  • Dalam hukum penyejukan Newton, terlupa menolak dan menambah semula suhu bilik Ta.
  • Menggunakan eksponen positif untuk pereputan, maka jumlah bertambah dan bukannya berkurang.
  • Menggunakan log10 dan bukannya logaritma tabii ln.
  • Mencampur unit masa, seperti k dalam min⁻¹ dengan t dalam jam.
  • Dengan faktor pengamiran, hanya mendarabkan sebelah kiri dengan μ.
Semakan kendiri Sebuah bahagian pada 80 °C menyejuk dalam bilik pada 20 °C. Pada masa t tertentu, e−kt = 0.5. Berapakah suhunya ketika itu?
  1. 30 °C
  2. 40 °C
  3. 50 °C
  4. 60 °C

Jawapan: 50 °C. T = 20 + (80 − 20) · 0.5 = 20 + 30 = 50 °C. Membahagi dua 80 secara terus memberi 40 °C, yang terlupa suhu bilik.

7Rupa soalan peperiksaan

  • Mudah: pertumbuhan dan pereputan eksponen. Cari jumlah selepas satu masa, atau masa untuk mencapai satu jumlah, sering daripada separuh hayat.
  • Sederhana: hukum penyejukan Newton. Gunakan satu pengukuran untuk mencari k, kemudian cari suhu atau masa.
  • Sukar: persamaan linear peringkat pertama seperti y′ + 2y/x = 3 dengan y(1) = 1. Gunakan faktor pengamiran dan cari y pada x yang lain.

Semakan pantas: jawapan pereputan dan penyejukan mesti terletak antara nilai permulaan dan nilai akhir (0, atau suhu bilik).

Belajar langkah demi langkah dalam aplikasiBelajar langkah demi langkah dalam aplikasi

Contoh penyelesaian

Contoh 1Mudah
rr² + br + c?

Bagi persamaan y″ + 4y′ + 3y = 0, cari punca r persamaan ciri yang paling hampir dengan sifar. Ia menentukan betapa perlahannya penyelesaian susut.

y″ + 4y′ + 3y = 0

Cari nilai r

Tunjukkan petunjuk
  1. Gantikan y = ert.
  2. r² + 4r + 3 = 0.
  3. Faktorkannya atau gunakan formula kuadratik.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = ert: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·ert (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Persamaan cirian

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

Punca

r = −1, r = −3
paling hampir dengan sifar: r = −1

Jawapan

r = −1

Penyelesaian am ialah y = A·e−1t + B·e−3t.

Contoh 2Sederhana
t (min)T (°C)5Ta​73 °C50 °C

Secawan kopi pada 81 °C ditinggalkan di dalam bilik pada 21 °C. Selepas 5 min suhunya ialah 73 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama selepas permulaan, t, untuk mencapai 50 °C?

T0 = 81 °CTa = 21 °CT(5) = 73 °CT = 50 °C

Cari nilai t (min)

Tunjukkan petunjuk
  1. Cari k dahulu daripada pengukuran pada t = 5 min.
  2. k = ln(60/52)/5 = 0.02862 min⁻¹.
  3. t = ln((T₀ − Tₐ)/(T − Tₐ))/k.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Pemalar penyejukan

k = ln(60/52)/5 = 0.02862 min⁻¹

Masa untuk mencapai sasaran

t = ln(60/29)/0.02862 = 25.4 min

Jawapan

t = 25.4 min
Contoh 3Sukar
ty1y(1) = ?

Selesaikan y′ + y = 4e−2t dengan y(0) = 4. Cari y(1).

y′ + y = 4e−2ty(0) = 4

Cari nilai y(1)

Tunjukkan petunjuk
  1. Faktor pengamiran ialah μ = et.
  2. (ety)′ = 4e−t → ety = 4/(−1)·e−t + C.
  3. y = −4·e−2t + C·e−t. Gunakan y(0) untuk mencari C.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Faktor pengamiran

μ = et
(ety)′ = 4e−t

Penyelesaian am

y = 4/(−1)·e−2t + C·e−t = −4·e−2t + C·e−t

Syarat awal

4 = −4 + C → C = 8

Nilaikan

y(1) = −4·0.1353 + 8·0.3679 = 2.402

Jawapan

y(1) = 2.402

Soalan dan jawapan

Apakah Persamaan pembezaan?

Bakteria membahagi, maka koloni yang lebih besar tumbuh lebih pantas. Kadar pertumbuhan berkadar dengan bilangan sel N:

Di sini dN/dt ialah terbitan N terhadap masa t, dan k ialah pemalar kadar. Dengan k = 0.4 j⁻¹ dan N = 1000 sel, koloni bertambah sebanyak 400 sel sejam pada saat itu.

Bagaimanakah saya menyelesaikan soalan Persamaan pembezaan langkah demi langkah?

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = ert: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·ert (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Apakah kesilapan lazim dalam Persamaan pembezaan?
  • Itu punca yang satu lagi, lebih jauh dari sifar; sebutannya susut lebih pantas.
  • r² + br + c = 0 dengan b dan c positif mempunyai punca negatif.
  • −b/2 ialah titik tengah punca, bukan punca.
Apakah yang diliputi oleh latihan Persamaan pembezaan?
  • Mudah: pertumbuhan dan pereputan eksponen
  • Sederhana: Hukum penyejukan Newton
  • Sukar: linear peringkat pertama

Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.

Cara latihan berfungsi

  • Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
  • Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
  • Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.

Topik sebelum dan selepas topik ini

Pelajari dahulu

TerbitanKamiran

Teruskan dengan

Transformasi LaplaceKaedah berangka

Kalkulator

Kalkulator separuh hayat dan pereputan eksponen

Kursus dengan topik ini

Matematik KejuruteraanPersamaan PembezaanMatematik Kejuruteraan 2Kalkulus 2Kaedah BerangkaSoalan latihan AP Calculus

Lebih banyak topik dalam Matematik & statistik

HadTerbitanPengoptimumanKamiranJujukan & siriKalkulus multipemboleh ubahNombor kompleksKaedah berangkaMatriks & penentuVektor: hasil darab titik & silangLogik proposisi & pembuktianSet, hubungan & fungsiTeori grafTeori nombor & aritmetik moduloKebarangkalianStatistik perihalanTaburan normalSelang keyakinanUjian hipotesis & selang keyakinanRegresi linear & korelasiUjian khi kuasa dua

Lembaran kerja boleh cetak

Lembaran kerja Persamaan pembezaan dengan jawapan
Berlatih Persamaan pembezaan secara percumaBerlatih Persamaan pembezaan sekarang5 soalan percuma setiap hari. Tiada kad diperlukan.