Transformasi Laplace: soalan latihan dengan penyelesaian langkah demi langkah
Soalan latihan Transformasi Laplace percuma dengan rajah, petunjuk dan penyelesaian lengkap. Nilai baharu setiap kali, pada tiga tahap: pasangan jadual dan teorem nilai, transformasi songsang dengan pecahan separa, PBS dan fungsi pindah.
Soalan latihan percumaMudah
Isyarat f(t) mempunyai transformasi Laplace F(s) = 22/(s(s² + 8s + 10)). Gunakan teorem nilai akhir untuk mencari nilai f(∞) yang dicapai f(t).
Litar, motor dan tangki diterangkan oleh persamaan pembezaan: output bergantung pada kadar perubahannya sendiri. Menyelesaikannya secara terus adalah perlahan.
Transformasi Laplace menukar masalah sedemikian kepada algebra. Anda menggantikan setiap fungsi masa f(t) dengan fungsi F(s) bagi pemboleh ubah baharu s.
Anda menyelesaikan masalah dengan algebra biasa dalam s, kemudian menterjemahkan hasilnya kembali kepada masa. Langkah terakhir itu ialah transformasi songsang.
F(s) = ℒ{f(t)} = ∫₀∞ f(t)·e−st dt
Anda jarang menggunakan kamiran ini sendiri. Dalam praktik anda merujuk pasangan transformasi dalam jadual, seperti perkataan dalam kamus antara dua bahasa.
Rajah menunjukkan tiga isyarat biasa: pemalar 1 (langkah), eksponen mereput dan sinus. Di bawah setiap satu ialah transformasinya.
Jawapan: 5/s. Faktor malar kekal di hadapan, dan ℒ{1} = 1/s. Jadi ℒ{5} = 5/s. Menjawab 5 terlupa bahawa transformasi pemalar sentiasa membawa faktor 1/s.
2Jadual pasangan transformasi
Pelajari lima pasangan ini. Bersama dua peraturan ia meliputi hampir setiap masalah peperiksaan.
1 ↔ 1/s e−at ↔ 1/(s + a) t·e−at ↔ 1/(s + a)² sin ωt ↔ ω/(s² + ω²) cos ωt ↔ s/(s² + ω²)
Kelinearan: pemalar kekal di hadapan, dan hasil tambah ditransformasi sebutan demi sebutan. Jadi 3/(s + 2) ↔ 3·e−2t.
Anjakan: menggantikan s dengan s + a mendarab fungsi masa dengan e−at. Jadi (s + 2)/((s + 2)² + 9) ↔ e−2t·cos 3t.
Perhatikan pasangan sinus: pengangka mestilah ω itu sendiri. Untuk 12/(s² + 9) anda mempunyai ω = 3, jadi tulis 12 = 4·3. Hasilnya ialah 4·sin 3t.
Dalam sin ωt dan cos ωt sudut ωt dalam radian. Tetapkan kalkulator anda kepada radian sebelum menilai.
Contoh terselesai
Cari f(t) bagi F(s) = 6/(s + 3) + 2/s, dan nilaikan f(0.5).
1
Padankan setiap sebutan dengan satu pasangan
6/(s + 3) mempunyai bentuk 1/(s + a) dengan a = 3, darab 6. Sebutan 2/s ialah pemalar 2.
6/(s + 3) ↔ 6·e−3t 2/s ↔ 2
2
Tulis f(t)
Tambah kedua-dua bahagian (kelinearan):
f(t) = 6·e−3t + 2
3
Nilaikan pada t = 0.5
f(0.5) = 6·e−1.5 + 2 = 6·0.2231 + 2 = 3.34
Jawapan
f(t) = 6·e−3t + 2, jadi f(0.5) ≈ 3.34.
Semakan kendiri Apakah transformasi songsang bagi 8/(s² + 16)?
2·cos 4t
2·sin 4t
8·sin 16t
8·sin 4t
Jawapan: 2·sin 4t. ω² = 16, jadi ω = 4. Pasangan itu memerlukan 4 dalam pengangka: 8 = 2·4, yang memberikan 2·sin 4t. 8·sin 4t terlupa membahagi dengan ω. Kosinus milik s dalam pengangka.
3Nilai permulaan dan akhir tanpa menyongsang
Kadangkala anda hanya perlu tahu di mana f(t) bermula atau di mana ia berakhir. Dua teorem memberikannya terus daripada F(s).
f(0⁺) = lims→∞ s·F(s) f(∞) = lims→0 s·F(s)
Nilai awal (s → ∞): untuk s yang sangat besar hanya kuasa s tertinggi dalam pengangka dan dalam penyebut yang dikira.
Nilai akhir (s → 0): batalkan faktor s, kemudian tetapkan s = 0 dalam setiap faktor yang tinggal, termasuk sifar.
Teorem nilai akhir hanya berfungsi jika f(t) benar-benar menetap: semua kutub s·F(s) mesti mempunyai bahagian nyata negatif.
Nilai akhir: untuk F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) anda mendapat s·F(s) = 12/((s + 2)(s + 3)). Pada s = 0 ini ialah 12/6 = 2, jadi f(∞) = 2.
Nilai awal: untuk F(s) = (3s + 10)/(s² + 5s + 6) anda mendapat s·F(s) = (3s² + 10s)/(s² + 5s + 6). Untuk s yang besar ini berkelakuan seperti 3s²/s², jadi f(0⁺) = 3.
Untuk kecerunan awal f′(0⁺), gunakan transformasi terbitan, ℒ{f′} = s·F(s) − f(0⁺). Kemudian gunakan teorem nilai awal padanya:
f′(0⁺) = lims→∞ s·[s·F(s) − f(0⁺)]
Untuk F(s) yang sama: s·F(s) − 3 = (−5s − 18)/(s² + 5s + 6). Darabkan dengan s dan biarkan s → ∞. Kuasa tertinggi memberikan −5s²/s², jadi f′(0⁺) = −5.
Semakan kendiri F(s) = 10(s + 2)/(s(s + 4)(s + 5)). Apakah nilai yang menjadi tetapan f(t)?
0.5
0
1
20
Jawapan: 1. s·F(s) = 10(s + 2)/((s + 4)(s + 5)), iaitu 20/20 = 1 pada s = 0. Meninggalkan faktor sifar (s + 2) memberikan 0.5. Nilai 0 ialah had s → ∞, iaitu nilai awal.
4Pecahan separa, langkah demi langkah
Kebanyakan F(s) tidak terdapat dalam jadual seperti sedia ada. Anda memecahkannya kepada pecahan mudah yang ada. Ini dipanggil pecahan separa.
Setiap punca penyebut ialah kutub. Kutub mudah pada s = −a memberikan satu sebutan A/(s + a), yang menjadi A·e−at dalam masa.
F(s) = A/(s + a) + B/(s + b) ⇒ f(t) = A·e−at + B·e−bt
Petua tutup mencari setiap pekali. Untuk mencari A, tutup faktor (s + a) dalam F(s) dan letakkan s = −a dalam semua yang tinggal.
Contoh: F(s) = (s + 7)/((s + 1)(s + 4)). Maka A = (−1 + 7)/(−1 + 4) = 6/3 = 2 dan B = (−4 + 7)/(−4 + 1) = −1. Jadi f(t) = 2e−t − e−4t.
Kedudukan kutub memberitahu anda bentuknya. Kutub nyata pada −3 memberikan reputan tulen e−3t. Pasangan kompleks −1 ± j2 memberikan ayunan mereput, e−t darab sin 2t atau cos 2t.
Kutub berulang (s + a)²: tulis A/(s + a) + B/(s + a)². Sebutan kedua memberikan B·t·e−at. Jadi (s + 4)/(s + 1)² = 1/(s + 1) + 3/(s + 1)² ↔ e−t + 3t·e−t.
Jawapan: 2. Tutup (s + 1) dan letakkan s = −1 dalam yang selebihnya: (−1 + 5)/(−1 + 3) = 4/2 = 2. Nilai −1 ialah B. 4 terlupa membahagi dengan faktor yang tinggal, dan −2 menterbalikkan tanda faktor yang tinggal: 4/(−2) dan bukannya 4/2.
5Contoh terselesai
Ini ialah soalan sederhana yang tipikal. Cuba setiap langkah sendiri sebelum anda membukanya.
Contoh terselesai
Cari f(t) bagi F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) melalui pecahan separa, dan nilaikan f(0.5).
1
Sediakan pecahan
Penyebut sudah difaktorkan. Kutubnya ialah s = 0, s = −2 dan s = −3, semuanya mudah.
F(s) = A/s + B/(s + 2) + C/(s + 3)
2
Tutup untuk A
Tutup faktor s dan letakkan s = 0 dalam yang selebihnya:
A = 12/((0 + 2)(0 + 3)) = 12/6 = 2
3
Tutup untuk B dan C
Tutup (s + 2) dan letakkan s = −2. Kemudian tutup (s + 3) dan letakkan s = −3. Kekalkan setiap tanda.
B = 12/((−2)(−2 + 3)) = 12/(−2) = −6
C = 12/((−3)(−3 + 2)) = 12/3 = 4
4
Kembali kepada masa
Setiap sebutan ialah pasangan jadual: 2/s ↔ 2, dan B/(s + a) ↔ B·e−at.
Pada t = 0: 2 − 6 + 4 = 0. Teorem nilai awal bersetuju, kerana s·F(s) → 0 untuk s yang besar.
Untuk t → ∞ hanya 2 yang tinggal. Teorem nilai akhir memberikan 12/(2·3) = 2 juga.
Jawapan
f(t) = 2 − 6e−2t + 4e−3t, jadi f(0.5) ≈ 0.685.
6Kesilapan lazim
Mencampuradukkan teorem: s → ∞ memberikan nilai permulaan f(0⁺), dan s → 0 memberikan nilai akhir f(∞).
Terlupa faktor s dalam s·F(s), atau meninggalkan faktor sifar seperti (s + 2) apabila anda menetapkan s = 0.
Kesilapan tanda dalam petua tutup: pada s = −3 faktor (s + 2) bersamaan −1, bukan 5.
Menggunakan pasangan sinus tanpa membahagi dengan ω: ω/(s² + ω²) memerlukan ω dalam pengangka.
Menilai sin ωt atau cos ωt dengan kalkulator dalam darjah. Sudut ωt dalam radian.
Menggunakan teorem nilai akhir apabila f(t) tidak pernah menetap, contohnya F(s) = 1/(s² + 4), iaitu sinus tulen.
Semakan kendiri F(s) = 6/((s + 1)(s + 3)). Dengan petua tutup, apakah pekali B bagi e−3t?
3
6
−2
−3
Jawapan: −3. Tutup (s + 3) dan letakkan s = −3 dalam yang selebihnya: 6/(−3 + 1) = 6/(−2) = −3. 3 positif ialah kesilapan tanda (ia ialah pekali A bagi e−t). −2 membahagi dengan nilai kutub dan bukannya faktor yang tinggal.
7Rupa soalan peperiksaan
Mudah: pasangan jadual dan teorem nilai. Anda menyongsangkan pemalar, eksponen, t·e−at, sinus atau kosinus dan menilainya, atau anda mencari f(0⁺), f(∞) atau kecerunan awal f′(0⁺).
Sederhana: transformasi songsang melalui pecahan separa. Anda mencari satu pekali A, menyongsangkan tiga kutub mudah s(s + a)(s + b), kutub berulang, atau kutub kompleks dengan melengkapkan kuasa dua.
Sukar: persamaan pembezaan dan fungsi pindahan, contohnya y″ + 7y′ + 6y = 15·u(t) dengan nilai permulaan yang diberi. Anda mencari y pada masa tertentu.
Untuk tahap sukar, transformasikan setiap terbitan bersama syarat awalnya:
ℒ{y′} = s·Y − y(0) ℒ{y″} = s²·Y − s·y(0) − y′(0)
Kemudian selesaikan persamaan algebra untuk Y(s), dan songsangkannya dengan pecahan separa seperti dalam contoh yang diselesaikan.
Isyarat f(t) mempunyai transformasi Laplace F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23)). Gunakan teorem nilai akhir untuk mencari nilai f(∞) yang dicapai f(t).
F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23))
Cari nilai f(∞)
Tunjukkan petunjuk
Teorem nilai akhir: f(∞) = lim s·F(s) untuk s → 0.
Semak dahulu bahawa semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri, supaya f(t) benar-benar menetap.
s·F(s) = 28/(s² + 2s + 23).
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt menukarkan terbitan kepada pendaraban dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan piawai: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan anjakan s → s + σ mendarabkan fungsi masa dengan e−σt. Untuk menyongsangkan F(s) nisbah, pecahkan kepada pecahan separa: reja bagi kutub ringkas p ialah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorem nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), sah hanya apabila semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri. Teorem nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Semak bahawa teorem itu terpakai
Teorem hanya sah apabila f(t) menetap; kutub pada paksi khayal atau dalam separuh satah kanan akan memberikan jawapan yang salah.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt menukarkan terbitan kepada pendaraban dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan piawai: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan anjakan s → s + σ mendarabkan fungsi masa dengan e−σt. Untuk menyongsangkan F(s) nisbah, pecahkan kepada pecahan separa: reja bagi kutub ringkas p ialah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorem nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), sah hanya apabila semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri. Teorem nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Faktorkan penyebut
s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)
F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 8)
Petua tutup
Darabkan dengan (s + 6) dan tetapkan s = −6: sebutan B lenyap.
A = (s + 22)/(s + 8) |s = −6 = 16/2 = 8
Jawapan
A = 8
(B = −7, maka f(t) = 8·e−6t − 7·e−8t)
Contoh 3Sukar
Satu sistem mematuhi y″ + 7y′ + 10y = 30·u(t), dengan y(0) = 5 dan y′(0) = 0. Pada t = 0 masukan langkah u(t) = 5 dikenakan. Gunakan transformasi Laplace untuk mencari y(0.6).
Darabkan keseluruhan dengan s: Y(s) = (5s² + 35s + 150)/(s(s + 2)(s + 5)).
A = 15, B = −16.67, C = 6.667.
Tunjukkan jawapan dan penyelesaian langkah demi langkah
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt menukarkan terbitan kepada pendaraban dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan piawai: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan anjakan s → s + σ mendarabkan fungsi masa dengan e−σt. Untuk menyongsangkan F(s) nisbah, pecahkan kepada pecahan separa: reja bagi kutub ringkas p ialah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorem nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), sah hanya apabila semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri. Teorem nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Transformasikan persamaan
(s² + 7s + 10)·Y(s) = 5s + 35 + 150/s
Y(s) = (5s² + 35s + 150)/(s(s + 2)(s + 5))
Pecahan separa
A = 150/(2·5) = 15
B = 100/((−2)·3) = −16.67
C = 100/((−5)·(−3)) = 6.667
Keputusan
y(t) = 15 − 16.67·e−2t + 6.667·e−5t
y(0.6) = 10.31
Jawapan
y(0.6) = 10.31
Semak: y(0) = A + B + C = 5.
Soalan dan jawapan
Apakah Transformasi Laplace?
Litar, motor dan tangki diterangkan oleh persamaan pembezaan: output bergantung pada kadar perubahannya sendiri. Menyelesaikannya secara terus adalah perlahan.
Anda menyelesaikan masalah dengan algebra biasa dalam s, kemudian menterjemahkan hasilnya kembali kepada masa. Langkah terakhir itu ialah transformasi songsang.
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt menukarkan terbitan kepada pendaraban dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan piawai: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan anjakan s → s + σ mendarabkan fungsi masa dengan e−σt. Untuk menyongsangkan F(s) nisbah, pecahkan kepada pecahan separa: reja bagi kutub ringkas p ialah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorem nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), sah hanya apabila semua kutub s·F(s) terletak dalam separuh satah kiri. Teorem nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Apakah kesilapan lazim dalam Transformasi Laplace?
Pada s = 0 faktor s² + 2s + 23 sama dengan sebutan pemalarnya 23.
Ambil had s → 0, bukan s = 1.
Itu ialah B, pekali e−8t. A milik kutub s = −6.
Apakah yang diliputi oleh latihan Transformasi Laplace?
Mudah: pasangan jadual dan teorem nilai
Sederhana: transformasi songsang dengan pecahan separa
Sukar: PBS dan fungsi pindah
Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan. Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
Cara latihan berfungsi
Setiap soalan mempunyai nilai baharu, jadi anda mempelajari kaedah dan bukannya jawapan.
Buntu? Buka petunjuk kecil dahulu, dan penerangan penuh hanya apabila anda memerlukannya.
Kemajuan, kesilapan dan soalan tersimpan anda dikekalkan, jadi anda boleh menyemak sebelum peperiksaan.